Ingeniería militar en los tercios españoles. Estimación de alturas remotas

"Las escalas (...) han de ser de altura de sólo las murallas: porque si son mayores, es fácil a los de arriba, asiendo de los palos que sobran, echarlas en tierra con los que están en ellas, y si menores, no se puede subir por ellas a lo alto. El medir esto ha de ser con mucho cuidado a causa del haberse perdido tierras por ser cortas las escalas, habiendo tomado la medida según el altura de la muralla, y no desde la parte de tierra donde se habían de afirmar" Bernardino de Medoza., Teórica y práctica de la guerra escrita al Príncipe Don Felipe Nuestro Señor

Ilustración del Tratado de geometría práctica y especulativa

de Juan Pérez de Moya (1573)

No es poca cosa, Señor, la que abunda en menoscabo del esfuerzo y las vidas de vuestros soldados desde que Vuestra Excelencia ha dado en aconsejarse de libros y bachilleres en las cosas de la guerra.

 De acuerdo con vuestras instrucciones fueron preparadas las escalas para asaltar el reducto de los herejes con las alturas que se deducían, -con dos palos-, de la infalibilidad 'del tercero y el séptimo del segundo de Euclides', -o algo así-,  sin que se nos autorizara a realizar una encamisada que permitiera medir con varas, como es costumbre, la altura de las murallas que habíamos de asaltar en pocos días.

Que se murmuró en nuestro campamento como fue castigado por Vuestra Excelencia es bien cierto, que bien patente quedó muy pronto que vuestro ingeniero medía la misma cosa en cantidades diferentes a cada momento, contra la experiencia que hace de una muralla cosa firme y poco inclinada a crecer y decrecer  sin previo aviso.

Y es bien cierto quel tal ingeniero, al ser requerido sobre los fundamentos de sus trabajos a algunos cientos de varas castellanas del pie de las murallas, -que era maravilla de todos verle allí, sin acercarse-, nos explicó, -y aún nos mostró en un libro-,  lo que más arriba dije a Vuestra Excelencia, aparte de dos varas de medir con que, también es cierto, algunos dimos en medirle sus costillas.

Y así varios de vuestros soldados dimos en caer carne de barrachel no por amotinarnos a causa de la soldada que se nos debe, sino maravilla de maravillas, por creer en la experiencia del oficio más que en todas las geometrías. Que fiado de vuestros ingenieros, nos mandasteis a los unos a la soga y al resto a las balas y piedras de los herejes, ante cuyos muros quedaron escasas las escalas en que fiaban su acometida. 

De esta manera queda vuestra compañía sóla de aventajados y bien nutrida de plazas muertas. La muerte es para nosotros, la vergüenza, toda vuestra.

Martín de Villamayor.

El texto a que se refiere el pobre Martín (personaje no por ficticio menos verdadero) es el artículo IIII del capítulo VI del Tratado de Geometría Práctica y Especulativa del Bachiller Juan Pérez de Moya, que explica:

Toma dos varas la una mayor que la otra la cantidad que quisieres, y esta mayoría o exceso divídelo en doce partes iguales, y cada una vara tenga su punta para que en el suelo se puedan hincar con facilidad. 

Y la menor, por que el que mide no se abaje, puede ser tan alta como hasta los ojos del Geómetra. Luego en un llano en la distancia (apartado de la altura que midieres) que te paresciere, hinca la mayor tan derechamente que haga ángulos rectos con el suelo, y luego más apartado del altura por linea recta, hinca la menor de modo que la mayor esté entre la menor y la altura que se mide, y tan distante pondrás esta menor de la mayor, que por los extremos altos de ambas veas, o eches una linea visual hasta lo mas alto de la cosa que midieres, como muestra la linea e.f.b. de la figura. 

Luego mira la distancia que hubiere de la una vara a la otra cuántas partes son semejantes a las 12 en que se dividió el exceso que hacía la vara mayor a la menor que será saber lo que hay desde el punto h. donde está la vara mayor al punto d. donde esta la otra, y supongo que sea tanto como las 15 partes, de los cuales entenderás que la proporción que hubiere destos 15 con 12, la misma habrá de espacio que hubiere desde la vara menor hasta el altura por linea recta, con la misma altura, la cual distancia supongo ser 20 pasos; mira la proporción que hay de 12 a 15 que la misma habrá del altura a estos 20 pasos lo cual para saber lo que será ordenarás una regla de tres diciendo: si 15 dan 12, ¿qué darán 20?. Multiplica 12 por 20 (como manda la regla de tres) y parte lo que saliere por 15, y lo que viniere a la partición (que son 16) será el altura de la torre. 

Quiero decir, lo que habrá desde el punto correspondiente al altura de la menor vara hasta lo más alto de la torre, que será lo que hay desde el punto c. al punto b. y la proporción que hay de quince a doce es la misma que la que hay de veinte a 16 y al contrario la razón de ésta es la misma que la que se dijo en el articulo precendente, porque estas dos varas la mayor sirve por la regla status, y la menor por la regla móvil y así como de la regla móvil se sacan cantidades por el agujero do está puesta, estas cantidades se toman con el apartamiento que hay de entre la vara menor y la mayor, y así el trinagulito pequeño e.g.f. y el e.c.b. son equiángulos y por el consiguiente los lados serán proporcionales, como se prueba por la 29 del I y cuarta del 6. de Euclides muchas veces citadas. 

Y por esta razón la proporción que viniere del lado e.g. al lado g.f. que incluyen el ángulo recto e.g.f. del triángulo pequeño e.f.g. la misma habrá del lado e.c. al lado c.b. que son lados que incluyen el ángulo recto e.c.b. del triángulo grande c.b.e. y así como es mayor el lado e.g. que el lado g.f. así es mayor el lado e.c. que es el espacio que hay de la vara menor hasta la torre que el lado c.b. que es el altura, la cual habemos sabido ser 16 pasos, a lo cual juntarás lo que hubiere desde el punto c. al punto a. que es igual al altura de la vara menor e.d. y todo junto será el altura a.b. de la torre.

Espero que este video pueda aclarar el proceso descrito que es en realidad muy sencillo:

Los problemas planteados en los momentos en que los fundamentos teóricos de una disciplina están muy por delante de las tecnologías que podrían conferirles un carácter "práctico", pero cuya necesidad ya es socialmente reconocida, no son baladíes. Un problema de ingeniería debería plantearse siempre sobre la base de unas necesidades, medios y condicionantes concretos. 

Aquellos primeros ingenieros militares fueron seguramente los primeros dignos de ese título. Los primeros en negarse a sorprenderse cada vez que la naturaleza se niega a ser platónica.

Aquí se puede ver un applet explicando el proceso. Si se hace doble click sobre éste se abrirá en una pantalla que podréis maximizar para poder jugar con él.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Tercios españoles: del arte de la guerra a la ciencia de la guerra. Medios y dificultades.

Introducción.

Comencé esta serie de artículos con una curiosidad geométrica, descubierta por Tartaglia, que recoge Rojas en un capítulo de su obra.  El hecho de que Rojas se haga eco de un desarrollo matemático al que, no obstante, no encuentra uso directo en el objeto declarado de su libro, nos lo muestra como un hombre preocupado por los avances de las matemáticas. 

Que tal solución, en exceso complicada, sirva únicamente para construir las reglas y calibres de que se dotan los artilleros para resolver el problema en la práctica, demuestra que ya no se siente como suficiente el uso de reglas, a modo de trucos, sancionadas por el uso y la costumbre, sino que, además, el ingeniero quiere saber qué hay detrás. En un tiempo en que las necesidades de precisión van mucho más allá de las exigencias de tiempos pretéritos y en el que los instrumentos necesarios son artesanales ésto es de la mayor importancia.

 Se ha establecido de hecho ese diálogo permanente entre los desarrollos teóricos y las necesidades prácticas que el Renacimiento acuñó como "progreso".

En este segundo artículo aspiro a plantear en líneas generales el problema a que se enfrenta el ingeniero militar de finales del siglo XVI en los términos en que Rojas lo expone en su obra.

Pero López de Turriellas. Práctico.

<<Déjenme que me presente a vuesas mercedes. Mi gracia es Pero López de Turriellas, tengo cincuenta y cinco años y sirvo desde los trece en los Tercios de Su Majestad. Muchos oficios he tenido a tal servicio, que cuando apenas apuntaba el bozo ya sabía yo lo que es forrajear en campo enemigo, y antes aún de que mi señor y Capitán Don Cristobal de Rojas reparase en mi persona y me tomase como práctico, cultivé a mayor Gloria de Nuestro Señor Jesucristo y de las Armas de Su Majestad, las artes de la pica, la espada y el mosquete, que cuanto hoy sé lo aprendí entre encamisada y encamisada, y antes de Marte que de las Musas.

Dice a menudo mi Señor Don Cristobal que tres cosas tiene que saber el ingeniero (1): la primera, mucha parte de Matemáticas tal y como las contó el griego Euclides, la segunda la Aritmética, que sirve para saber el gasto de la fábrica y para su construcción con sus distancias y proporciones, y la tercera saber reconocer la posición, que es la que más cuadra al oficio de soldado.

Tal soy yo que he alcanzado, a decir de Don Cristobal, la inteligencia mecánica de estas artes como para saber medir, que es primera cosa y principal para el ingeniero. Y no se me ocultan tampoco las virtudes y los vicios de los sitios, para su defensa o para ofenderlos, que muchas son las fábricas cuyo orgullo he sostenido o humillado junto a mis camaradas a despecho de los números de los ingenieros de los herejes.

Y así conozco los triángulos, y las figuras cuadriláteras y las trapecias, y la regla de tres y los quebrados y la raíz cuadrada que son como el alma de las fábricas y disponen sus partes y proporciones. Y es esta alma de tal condición que anima nuestras fortificaciones igual que animaron las de los antiguos que ya no nos sirven en este tiempo conforme al arte militar presente, (que parece maravilla), y que sirve lo mismo a los propósitos de levantar la fábrica para estorbar al enemigo que para conocer los estorbos con que el enemigo confía desbaratar el valor de nuestros soldados.

Y no puede el práctico cojear de ninguna desas artes que las unas van en auxilio de las otras y, sobre todo a la hora de medir las superfices de las figuras, llega la Geometría donde le faltan números a la Aritmética, que son las superficies problemas de cuadrados y raíces y son muchas las veces que aparecen bajo la forma de números sordos, y que es mejor sacar enteros por la longitud de la línea, que es cosa de maravilla y quiero explicar aquí a vuesas mercedes.

Que si quiero yo saber el lado del cuadrado que tiene una superficie dada para plantar los reales, por ejemplo, de Nuestro Señor el Rey Don Felipe y que quepan dos compañías, tendré que sacar la raíz del número de la superficie y es suerte si sale entero, y si quebrado no saldrá exacto y por éso, porque es menester en cosas del ejército disponerlo todo con ciencia exacta, será mejor medir la linea del cuadrado como enseña la Geometría, que es exacta.

Y digo que si quiero saber qué lado tengo que ponerle a un cuadrado para que haga 67 estadales de superficie porque sea menester la tal medida, calcularé la raíz de 67 y buscaré número que multiplicado en si se allegue lo mas que ser pudiere al 67 el cual será el 8, porque el nueve multiplicado en sí ya es mayor que el 67, y ocho veces ocho son sesenta y cuatro que si los resto de 67 quedan 3 que los pongo sobre una raya por nominador y debajo, por denominador, la raíz duplicada y una más, que serán 17 que parecera así diciendo derechamente que la raíz cuadrada de 67 son 8 y 3/17 avos que es número sordo.

Por éso tomaré un rectangulo de lados tales que valga 67 estadales y que es de 67 estadales de un lado y de un estadal del otro porque no hay otro número sino el uno que divida al dicho 67. Y haré dos líneas A.B. y C.D. de un estadal la una y de 67 la otra como quedó dicho, la una a continuación de la otra y es cosa que se hace con la regla y el compás.

Y tendré la linea A.D que medirá 68 estadales, como es dicho, y sacaré su centro, que cosa es sencilla que se hace con las dichas regla y compás, y meteré esta línea debajo de un medio círculo poniendo el compás en la mitad de la línea y donde comenzaba la linea C.D. que es punto D. se levantará una perpendicular que toque el círculo que es la línea D.O. y será el lado del cuadrado que tiene 67 estadales de superficie, porque la dicha D.O. es media proporcional y todas tres líneas lo son, y es ésta regla maravillosa que permite también apreciar distancias con buen juicio sin tener que medirlas con la cuerda de estadales, que ya les mostraré a vuestras mercedes en otra ocasión. Y será la línea exacta más que puede serlo el número que nos dice la Aritmética y con esta razón se sacará la raíz cuadrada de cualquier número sordo o irracional.Y va así la Geometría al auxilio de la Aritmética.

Dicen los sabios que con estas razones y otras no hay fábrica que pueda tener defecto, salvo error de maestría del ingeniero y del práctico, y no es tal, que, en esta materia de medir distancias, hay grandes disputas entre los teóricos y los prácticos, que como dice mi capitán Don Cristobal piensan que como miden en un papel o en una tabla una distancia que así les ha de suceder en la campaña y se engañan en mucho, que hay que ejercitarse en las artes de la experiencia.

Y la causa de todo este engaño es porque siendo la distancia que se ha de medir de algunos mil o dos mil pasos y el instrumento no mayor que de un pie cuadrado, viene a ser una pequeña falta del instrumento muy grande en la distancia y ésto sucede a la letra en las máquinas o ingenios que en los modelos parecen muy verdaderos y al hacerlos grandes salen muy pesados y diferentes de lo que prometían en pequeños, porque son como las barrenas de los carpinteros que con una barrena chica se hace con poco trabajo un agujero aun madero y si quieren hacer un agujero que tuviese un palmo de diámetro y se hiciese una barrena tan grande que tomase todo el agujero al tiempo de torcer para ir barrenando no será posible porque o faltará la fuerza o se romperá el madero. (2)

Y así es opinión de Don Cristobal que el instrumento con que se haya de medir alguna distancia sea el mayor que se pudiere, porque menor será el error.

Y digo que medir es cosa asaz difícil que piensan los teóricos y los que no saben dello y que muchas veces no es posible medir la distancia que se quiere con el instrumento y que el práctico tiene que saber cómo medir los sitios a los que no puede acceder que puede ser el ancho de un río o un área batida por el enemigo y que se miden por la Geometría y es cosa de saber Geometría y de ser fino en la medida para que no yerre el práctico en cosa que puede costar la vida de sus compañeros.

Y se hace ésto con la escuadra, por ejemplo, que gusta Don Cristobal de instrumentos más complicados de lo que ya os hablará él, pero es el que más tengo a mi sabor. Digo que si quiero tomar la distancia A.E. y no puedo medirla por lo que fuera cogeré la escuadra y la pondré en B. de guisa que apunto el uno de sus lados a A. que es inaccesible y marcaré la línea que dibuja el otro lado y la prolongaré con una señal y me llevaré la escuadra sobre esta línea a tacto hasta un punto D. que apunte el uno de sus lados a B. y el otro a A. que no puedo llegar y digo que la distancia entre B. y D. es exacta a la A.B. que no podía medir.

Y que también puede hacerse éso por proporciones poniendo un cuadrado en la tierra tan grande como se pudiere pues cuanto mayor fuere tanto será más cierta la medida. Y se hará de tal forma este cuadrado que un lado suyo que será E.C. mire al punto A. de la otra banda del río, por ejemplo, y supongo que este cuadrado tiene por cada lado 80. pies, que copio lo que explica Don Cristobal en su obra, Digo pues que se plante el cuadrante en el punto D. y se mire al punto A. y se note por donde corta la línea al cuadrado que se hizo en la tierra: y supone Don Cristobal que corta por la mitad que fue a los 40. pies. Hecho ésto se ordene una regla de 3. diziendo: "¿si 40. vinieron de 80. los mesmos 80. de donde vendrán?". Multiplicarán los 80. con los 80. y harán justamente 6400. los cuales se partrán por los 40. y saldrán 160 pies. y tantos pies hay desde el punto C. de cuadrado hasta el punto A. de la otra parte del río.

Y dice don Cristobal que esta medida se tendrá por la mejor y más cierta excepto la anterior que dije que en esa no se puede errar sino adrede.

Y con todo y no ser la parte mas fácil deste arte, hay que hacer practicarla a veces bajo el fuego de los herejes y cuidadosos de sus celadas, y además saber sacar ángulos de los rectos para edificar las fábricas que tienen figuras de pentágonos y de exágonos y de heptágonos y más, que son las que el arte militar prefiere.>>

A modo de conclusión.

A los ingenieros de la época les faltaba la más importante de las herramientas, un conjunto de números continuo, el de los reales, de manera que su aritmética iba de la mano de la geometría para lograr resultados con la precisión apetecida. Son muchos los problemas que se resuelven en ingeniería, también hoy en día, mediante el recurso a sistemas CAD, que son verdaderas calculadoras geométricas.

La solución gráfica de la raíz cuadrada se basa en la Proposición XIII del Libro VI. de Euclides, que cita el propio Cristobal de Rojas (3), y permite hallar la media proporcional de dos segmentos. Esta proposición fundamenta igualmente el instrumento a que alude don Pero en su discurso, que permite medir distancias de manera indirecta con tal de poder lanzar una visual, como veremos en otro artículo.

Las limitaciones de los instrumentos y las quejas de don Cristobal respecto a las pretensiones de exactitud de los teóricos y su incipiente reflexión sobre las fuentes de error y su propagación, muestran a las claras que nos encontramos ya ante ingenieros bien caracterizados.

Notas:

(1) Op. Cit. fol. I.

(2) Op. Cit. fol. 80.

(3) Op. Cit. fol. 12.v.

Tercios españoles: del arte de la guerra a la ciencia de la guerra. El problema del calibre

Presentación:

Éste es el primero de una serie de artículos en que iré dando cuenta de cómo la Ciencia se fue introduciendo por las rendijas del viejo "Arte de la Guerra", (de la mano de la revolución renacentista de la poliorcética y de la artillería, sobre todo), para dar lugar a la ingeniería militar.

No voy a hacer una historia de la ingeniería militar, sino que voy a presentar los conocimientos y métodos de que ésta se fue dotando a partir de las fuentes originales a que tenemos acceso gracias a la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico, dependiente del Ministerio de Cultura, y a algunas otras procedentes de otras bibliotecas y archivos.

Procuraré formular cada problema tal y como se presentó a nuestros antecesores, de acuerdo con el conocimiento de su época, (y la forma en que lo aplicaron), para comprender las soluciones a las que llegaron. Cuando sea pertinente, recurriré a nuestras matemáticas para valorar o aclarar las viejas soluciones.

En general veremos cómo se trata de problemas de aplicación en arquitectura, topografía o balística, que se abordan geométricamente, en vez de, como estamos acostumbrados, algebraicamente. Aún faltaban algunas décadas para que Descartes abriera nuevos caminos.

Hace años que me interesan las obras antiguas sobre matemáticas, y de ellas he sacado, sobre todo, un íntimo convencimiento de que a ellas se accede por la puerta de la geometría. Que cada uno debe rehacer en su mente el camino que jalonan los problemas que en cada momento preocuparon a los matemáticos. Que deberíamos emplear no pocas horas de nuestra infancia en trabajar "a la euclidea", con regla y compás, para aprender a pensar matemáticamente.

Artillería. El problema del calibre.

<<Llamadme Fernando. Soy un artillero español del siglo XVI, y tengo un problema. La estandarización de las piezas a las que sirvo es muy deficiente. De hecho, no existe, en buen español, la palabra "estandarización", que me suena a lindeza francesa o barrabasada flamenca.

A decir del bueno de D. Lázaro de la Isla en su Breve tratado del arte de la artillería, geometría y artificios de fuego,  que dirigió al Capitán General de Artillería, D. Juan de Acuña  el año de 1595, son tantos los conocimientos que debo dominar, (y tantas y tan importantes las cosas que de ello dependen), que me sorprendo al caer en la cuenta de la infinidad de sentencias del libro que sabidas tengo desde mozo sin saber ni como las aprendí.

No soy un hombre de letras, (que bien estorbado que fui en la escuela), pero como dice D. Lázaro en el Capítulo I, no me es ajeno el uso de la regla, la escuadra, la brújula, y del nivel, que usaron los antiguos sabios, como no lo es el de la pala y la azada que de siempre he visto en manos de mis mayores.

Convengo en que no sé explicar con números y papeles por qué ni cómo funcionan esos instrumentos del oficio. Pero para suplir, si hace falta, esa regla, a que alude D. Lázaro, en que viene señalado el peso de las balas y las bocas de las piezas ya tengo yo años de experiencia en Flandes.

Con ésto y todo, hete aquí que en este Año del Señor de 1598, se nos presenta un oficialillo con otro libro, (éste del Capitán D. Cristobal de Rojas), que se titula Teórica y práctica de fortificación, conforme las medidas y defensas destos tiempos, y que menos me gusta que el de D. Lázaro, (que aún dice cosa útil entre tanta letra),  y que, con abundancia de boato, de papel y reglas, viene a enseñarme cómo sacar el diámetro de una bala para un determinado peso a partir de otra de diámetro y peso conocidos, sin que me vaya a valer ni un escudo de ventaja.

"Esta curiosa regla de Geometría dicen que la inventó Nicolao Tartalia, y es de tal estimación, que holgaran mucho saberla los Delios, cuando tuvieron necesidad de doblar el ara de Apolo, para lo cual se juntaron grandes Filósofos, y nunca supieron la razón de ella. Dice su fábrica así. Sea un diámetro de un cubo la línea AB, y que pese 15 libras: piden que se dé otro diámetro que se cuerpo, o cubo, sea doblado al de la AB que quiere decir, que pese 30 libras, y los mismo se entenderá, si fuesen onzas, porque la regla es muy general, y porque se pretende sacar un cuerpo doblado a la AB. Se pondrá la dicha línea AB en una línea recta dos veces de largo, y luego se hará un rectángulo que tenga de ancho la mesma línea AB como parece en esta planta.

Dize esta regla, que hecho el rectángulo, como dicho es, se extenderán las dos líneas ED y la EA muy largas acaso, y luego se tirarán las dos líneas diagonales del dicho rectángulo, que serán AD y CE y se cruzarán en el punto G y fabricado ésto se pondrá una regla que toque en la esquina del rectángulo del punto C y se ajustará de tal suerte la dicha regla que estén distantes por partes iguales el punto H y el punto F del centro G y luego se tirará la línea HF que pase justamente por el punto C y digo que la línea DF es el diámetro duplo a la AB en potencia como se prueba por la 12 definición del 5 de Euclides y por la 36 del undécimo y con esta orden podrá hacer el artillero el calibro, porque si quiere duplicar, o triplicar, o cuadruplicar una bala, pondrá el diámetro de la primera bala por anchura de un rectángulo, y por largura de él, tantos diámetros de largo, cuanto pretendiere que sea mayor la segunda bala que quiere hacer." Op. Cit. Cap. XXI.

Que ancho se quedó nuestro buen Capitán con este discurso, que si no fuera por el dibujo que acompaña ni siquiera sabríamos de qué habla, salvo de que la culpa de este desaguisado de rayas y compases es del tartaglia ése, italiano.

Con todo me he esforzado por comprender, porque no he yo de dejar de aprender algo que a mi oficio atañe, por más que vote a los demonios del alma de los que tal enredo nos sacan de sus cabezas a tantos españoles honrados que no aspiramos a otra cosa que a luchar por la Fe y por Nuestro Rey contra los herejes. Así que el Señor Oficial ha prometido volver ahora con una copia del Tartaglia, que así le llaman, para esclarecer tanta oscuridad como hay en este texto, que antes pareciera locura de alquimista que manual para la batalla.

Y helo aquí al Sr. Oficial, con un libro más gordo si cabe, que parece que pueda albergar entre sus páginas a todos los santos de la cristiandad, y encima en jerigonza italiana:

"Volendo adonque trovare per linea, poniamo la radice cuba di 10. Questo 10 (come di sopra e stato detto) s'intende, o che si debbe intendere 10 misure corporee, horponiamo she siano 10 corpetti simili al nostro corpetto .c. di sopra posto in margine, delliquali 10 corpetti la intencion nostra e di volerne fare un cubo solo et saper quanto quel sara per lato, ouer che diremo, eglie un cubo, che l'area sua corporale é 10 di detti corpetti .c. et voressimo sapere quanto sia il lato di tal cubo,cioe quanto sia di quelle misurette lineali (simile alla .a.) per lato la qual linetta .a. per esser stata suposta per un piede et per piede la chiameremo, per essequir adonque questo effetto tira una linea cioe la .de. & di quella ne cavarai la .df. che sia precisamente 10 piedi (cioe la dg & la hf) sia precisamente piedi.i. (tal che la detta superficie venira a esser 10 piedi superficiali) fatto questo tira in quella li duoi diametri .dh. & .gf. (per trovar il centro .i.) dapoi slonga il lato .dg. poníamo fino .ak. (ponto non determinato) fatto questo piglia il tuo compasso (facendo centro il ponto i) & con quello cercarai di signar in ponto sopra la linea .gk. & un'altro (senza variar il compasso dal centro .i.) sopra la linea .fe. liquali duoi ponti siano di tal qualita che tirando una linea retta da uno a l'altro di quelli  tal linea passi precisamente per il ponto .h. & per trouar questi duoi ponti cosi conditionati bisogna procedere a tasto ne in questo modo prima a nostro giudicio signaremo li duoi ponti .l. & .m. & dapoi signati che siano isperimentaremo se tirando da l'uno a l'altro la detta linea retta se quella transira precisamente per il detto ponto h & perche in vero tirando la detta linea dal detto ponto .l. al ponto .m. quella transiria alquanto disopra dal detto ponto .h. & pero ne signaremo duoi altri stringendo alquanto il nostro compasso, & questi secondi pongo che siano .no. ma tirando la detta linea dal ponto .n. al ponto .o. trouaremo che quella transira al quanto piu baso del detto ponto .h. & pero slargaremo alquanto il nostro compasso, & con quello signaremos glialtri duoi ponti .p. & .q. & perche a tirar la detta linea dal ponto .p. all ponto .q. quel passa pontalmente per il detto ponto .h. como sesibilmente si vede, concluderemo la linea .fq. esser la radice cuba di 10 vero è che bisogna esser diligentissimo nell'operare altramente malamente rispondería al senso essempi gratia cauando la propinqua radice cuba di 10 per la nostra regola trouaremos quella esser 2 1/9 & pero se la nostra operatione geometrica sara stata fatta con diligentia la detta .fq. doveria esser circa piedi 2 1/9 cioe circa due di quelle lineete .a. et un nono di una di quelle & cosi con compasso te ne potrai chiarire. "

Ya sudamos con tanta letra y tanta raya como si fuéramos galeotes, que menos mal que el Pater, (que sabe de latines más que nuestro señor el Papa), ha cogido un palo y nos lo está dibujando sobre el barro. Visto queda que no fuera de mayor dificultad la empresa, (si hubiere necesidad della, que jamás en mis años de campaña me pusieron las circunstancias ante tal necesidad), si no fuera porque se ha de encontrar los puntos que determinan la inclinación de la raya que pasa por C , y así la respuesta, procediendo "a tasto", como dice el tartaglia,  que s'hecha de menos forma de hacerlo exactamente con la regla y el compás.

No es difícil cosa, si se sabe explicar, que, por ejemplo, para conseguir una bala de doble peso que una de diámetro tres dedos, hay que dibujar esa distancia en el papel AB, y luego prolongarla en su longitud hasta un punto C. Que a partir de ahí trasladamos perpedicularmente el dicho diámetro de la bala desde A verticalmente hacia abajo hasta el punto D y, con estos tres, trazamos el rectángulo y sus diagonales que se cruzan en un punto O. Y que si, de esta guisa, prolongamos los lados AD y DE y conseguimos situar en ellos dos puntos tales que equidisten de O y que definan una recta que contenga a C, cosa esta que difícil es de atinar a la primera, a fé mía,  la distancia entre el punto E del rectángulo inicial y el punto que llama el Pater "dseta", (que nada se le oculta del alfabeto gregesco), será la que tengo que usar como diámetro de la bala que me solicitan, y que tendrá el peso doble que la anterior.

Que no se yo cómo a Micer Tartaglia le vino a la mente cosa semejante que ni a los sabios se les había ocurrido, y que, de todos modos, más parece cosa como de oficiales, d'esos que razonan como Don Cristobal, que quedan convencidos de las cosas "por la 12 definición del 5 de Euclides y por la 36 del undécimo", que no de honrados artilleros. >>

A modo de conclusión:


Más parece cosa que quitara el sueño a un maestro armero que a un artillero ésta que nos ocupa, pero en todo caso, nos proporciona una ocasión para comprobar lo mucho que debemos a los "humildes" avances de la aritmética. Nociones tan elementales como el volumen, (y el peso en este caso, con permiso de la densidad), quedan por entero fuera de la capacidad de cálculo de la mayor parte de las personas de la época, salvo unos pocos casos particulares en que el resultado de la raíz cúbica es entero.

Tartaglia fue famoso, entre otras cosas, por haber resuelto la ecuación de tercer grado, cuya solución anterior, por Scipione del Ferro, no había transcendido. Naturalmente el problema de la raíz cúbica no podía dejar de interesarle. La solución gráfica que propuso es antes una demostración geométrica de la radicación cúbica, que un verdadero método para resolver los problemas planteados, dado que no especifica la manera de encontrar exactamente los puntos que determinan la solución con la regla y el compás, sino que es la solución la que determina exactamente los citados puntos. Como regla práctica de oficio, parece más bien que la solución del problema planteado pasase simplemente por el uso de las reglas que cita Lázaro de la Isla.

Nosotros, dotados de métodos más poderosos, podemos hoy hacer este cálculo con la exactitud que precisemos sin más que recurrir a la calculadora:

Para el caso de una bala esférica buscamos aquel radio R que cumpla que  V/(2V) = r^3/R^3

O sea, R = (2r^3)^(1/3), y para el caso que nos ocupa,  r = 3 => R = 3,78.

El método gráfico ha arrojado un resultado de 3,76 que no está mal, y que se habría podido ajustar aún más... Pero claro... El Pater no tenía Geogebra.

Los triángulos: omnis mundi creatura quasi liber et pictura nobis est, et speculum.

Omnis mundi creatura quasi liber et pictura nobis est, et speculum.

"-Sigo sin entender- confesó Joss-. Sabemos que el universo se rige por un orden matemático, la ley de la gravedad y todo éso. ¿Qué diferencia tiene ésto? ¿De qué nos serviría saber que existe un orden en las cifras de pi?

-¿No se da cuenta? Ésto sería distinto. No se trata sólo de comenzar el universo con algunas leyes matemáticas precisas que determinan la física y la química. Ésto es un mensaje. Quien quiera que haya creado el universo, ocultó mensajes en números irracionales para que se descifren quince mil millones de años después, cuando por fin haya evolucionado la vida inteligente. La otra vez que nos reunimos critiqué a Rankin y usted por no comprenderlo. ¿Recuerda que les pregunté que, si Dios quisiera hacernos conocer su existencia, por qué entonces no nos enviaba un mensaje concreto?

-Me acuerdo muy bien. Usted piensa que Dios es un matemático."

(Carl Sagan. Contacto).

-Tenía que ocurrir- dijo Ptagonal. Sacó un compás de entre los pliegues de su toga y midió el pastel con expresión pensativa-. Es una constante, ¿no te parece? Sí, estoy seguro de que es una constante. Qué concepto más deprimente...

-Perdona, pero temo que no te entiendo- dijo Teppic.

-El diámetro divide a la circunferencia, ¿sabes? Tendría que ser tres veces. Es lo que pensaría cualquiera, ¿no te parece? Pero ¿es así? No. Tres coma uno cuatro uno y montones de números más... No sé de dónde salen, pero los muy malditos no se acaban nunca. ¿sabes lo mucho que me cabrea el que no se acaben nunca?

-Supongo que te debe cabrear considerablemente- dijo Teppic en su tono más cortés.

-Exacto. Me indica que el Creador usó la clase de círculos que no debía. ¡Ni tan siquiera es un número presentable! Quiero decir que... Bueno a tres coma cinco le puedes tener respeto. O a tres coma tres, por ejemplo... Sí, éso sí tendría buen aspecto.

(Terry Pratchett, Pirómides)

Introducción

Quiero aprovechar para introducir uno de esos libros que siempre viaja conmigo, en mi cabeza y en mi maleta. Se trata de El universo de las matemáticas. Un recorrido alfabético por los grandes teoremas, enigmas y controversias, de William Dunham de editorial Pirámide, (1995). El formato elegido por el autor es el de un diccionario con una entrada por cada una de las letras del alfabeto, en plan RAE, modelo expositivo que, lejos de fragmentar el discurso, lo acota en capítulos muy accesibles cuyas relaciones internas establece fácilmente el lector, casi sin enterarse, durante el proceso de lectura.

Pues bien, uno de ésos capítulos, el de la "E", está dedicado a Euler, en palabras de Dunham un matemático de primerísimo orden, aunque casi totalmente desconocido por el gran público que, posiblemente, en su gran mayoría no sabe ni pronunciar correctamente su nombre. Los mismos que nunca han oído hablar de Euler probablemente no tendrían problema en saber que Pierre-Auguste Renoir es un artista o que Johannes Brahms es un compositor o que Sir Walter Scott es un novelista. La anonimicidad de Euler, por contraste, es una injusticia y una vergüenza. (...) Por tanto, encarezco a los lectores que blandiendo el libro comiencen a formar clubes de entusiastas seguidores, escriban pancartas y de otras muchas formas corran la voz acerca de uno de los matemáticos más influyentes y más ingeniosos que han existido. Y en éso estamos...

Leonhard Euler

¿A dónde quiero ir a parar? Al estudio geométrico del más simple de los polígonos, el triángulo, (estudiado hasta la saciedad desde la antigüedad por mentes tan extraordinarias como la del mismísimo Euclides), al que Euler realizó contribuciones de tal perspicacia, sencillez y alcance que casi me inclinan, (irredento ateo y todo, como soy), a considerar seriamente la posibilidad de un dios, o, al menos, de un Intelecto Agente.

Me voy a permitir el lujo de cogerme de la mano de Dunham para mostraros esta pequeña joya de la geometría:

comencemos con un triángulo arbitrario ABC como el que se muestra en la figura E.1. córtese por la mitad cada lado y trácense las tres alturas del triángulo -ésto es, las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto-. En la figura hemos puesto una M en el punto medio de cada lado y una P al lado de cada perpendicular. ¿Qué es digno de notarse acerca de estos seis puntos aparentemente sin relación entre sí? 

¡Euler demostró el hecho curioso de que los seis puntos caían en un sólo círculo! El centro del círculo se halla como se indica en la figura E.2.. Sea D el punto común donde se cortan las tres alturas del triángulo (técnicamente llamado el ortocentro del triángulo) y E el punto común donde se cortan las perpendiculares trazadas desde los puntos medios de cada lado (el circuncentro). Únanse el punto D y E y córtese este segmento por la mitad en O. Entonces O es el detro de un círculo que pasa por todos los seis puntos mencionados.

Este teorema sumamente peculiar que pasan por alto Euclides, Arquímedes, Tolomeo y todos los demás matemáticos durante miles de años, indica, concluye Dunham, que Euler pudo hacer geometría como el mejor de ellos.

Lo más curioso, además, es que es un hecho constatable "a la euclidiana", mediante regla y compás, (una forma de razonar en la que, lamentablemente, no somos educados). Hoy es un resultado bien conocido. Las tres alturas del triángulo se cortan en el ortocentro, las mediatrices de cada uno de sus lados, (la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio), se cortan en el circuncentro y las medianas, (los segmentos que unen cada uno de los vértices con el punto medio de su lado opuesto), lo hacen en el baricentro. Los tres puntos están contenidos en la llamada Recta de Euler. Podemos "comprobarlo" fácilmente gracias a Geogebra:

(Nótese que no he representado el baricentro)

En los próximos días, abordaré este problema desde una perspectiva algebraica. Y así, de paso, hablamos de la gran contribución de Descartes a las matemáticas.

Clotoides doquiera que las haya

Advertencia: Si no te interesa la geometría y no estás familiarizado con el mundillo de la obra pública y los senderos de La Fuerza (los verdaderos, los que quedaron trazados en la primera trilogía de La Guerra de las Galaxias), no leas este rollo. Te va a aburrir soberanamente.


Kesting- Hedrich: el veterano.

Me encanta el libro viejo. A ver... Realmente, como buen "obsesivo compulsivo", me encantan aquellos libros viejos que por su temática me llaman la atención, (en ésto el filtro no es demasiado estricto), y que por sus previas condiciones de uso y almacenamiento, no evocan el recuerdo de tanta calamidad, en forma de prión, virus y bacteria, como pulula por ahí. Esta semana he adquirido una obra que me ha parecido muy curiosa: Tablas numéricas para el replanteo de curvas. Determinación rápida de un punto cualquiera de un arco, en graduación centesimal y sexagesimal de N. Kesting y O. Hedrich, edición española de Labor, publicado en 1960.

Se trata de una de aquellas obras técnicas que, como la regla de cálculo, facilitaban la vida de los ingenieros y delineantes en aquellos lejanos tiempos en que la ingeniería era una artesanía del pensamiento y no había ningún ordenador que sustituyera al oficio. "Antes de estos tiempos oscuros... Antes de la Informática". El caso es que me encontré a este pequeño hermano tirado de mala manera en un cajón de saldos, abiertas las tapas hasta el desgarro, y no pude sustraerme a la muda petición de auxilio que lanzaba desde aquella posición obscena. Ójala hubiera podido salvarlos a todos.

Cuando salí con él de ese campo del horror, (me resisto a llamar "librería" a un lugar en que no se respetan los libros ni como mercancía), me senté en una terracilla para examinar al herido y tomarme una cerveza. Pronto pude darme cuenta de que, aparte de una mancha de tinta azul que afea su corte delantero entre las páginas 181 y 245, (la huella indeleble que le dejó la agonía en el campo del honor de un camarada BIC al desangrarse al calor inclemente de algún pretérito mes de agosto), la calidad de los materiales y de la encuadernación había asegurado su integridad frente a las humedades, calores y, en fin, las solicitaciones mecánicas de todo tipo, de los largo años de postración y olvido.

Más tranquilo, entre sorbo y sorbo de cerveza, descubrí algunas anotaciones manuscritas entre sus páginas que me hicieron pensar que estuvo sujeto a un mando incompetente que no supo entender su valor o sus posibilidades. Es todo lo que ha quedado para recordar tanta batalla en la que un mal cálculo acaba por hacer inútil el sacrificio de tanta estaca. No considero que la terapia "psicológica" que precisaría este camarada para liberarse de la huella intrusiva de ese pensamiento ajeno justifique el deterioro físico que, sin duda, significaría para sus folios. Las he respetado.

Limpio de polvo, deshechas las orejas en que se le doblaban cien esquinas haciéndole parecer un ridículo soplón, (a él, uno de los pocos libros que jamás aspiró a otra cosa que decir su pequeña verdad con precisa exactitud), tiene ahora un buen lugar en una cómoda estantería, su nuevo cuartel, capitaneado por el PG3, (un libro un tanto pomposo y ordenancista, es cierto), pero en un codo a codo con camaradas como Problemas de geometría diferencial, un ruso con el que sospecho que se va a llevar muy bien, habituado como está a dar soluciones él y necesitado como anda el otro de respuestas.

Hemos estado hablando este fin de semana, (una pequeña charla intranscendente en forma de "prelectura"), que me ha dejado muy claro que no me va a decir gran cosa sobre la ciencia que sustenta su mensaje. Supone que su interlocutor sabe de lo que habla y sólo lo hace, bajo la forma de riguroso dato, en la medida en que se le sabe interrogar. Un buen suboficial, sin duda alguna. Vale la pena aprender de él por más que la técnica haya revolucionado ese arte de la guerra que llaman obra civil.

 O, sea... Nombre, rango y número de placa.

En las tablas, todos los valores necesarios para fijar estos puntos, son inmediatamente legibles o pueden ser fácilmente calculables si se trata de valores intermedios. Éstos pueden obtenerse en las tablas por interpolación lineal. (...) Todas las tablas, incluso las que sirven para redondear los arcos en los cambios de pendiente, abarcan tal variedad de radios que cubren todas las necesidades de la práctica. La forma misma de efectuar el replanteo va descrita en cada caso en las explicaciones de la tabla respectiva... (KESTING- HEDRICH;1-2).

El tiempo no pasa en balde. Nuestro amigo es de los que hacían la guerra dentro de su casaca roja, en perfecta formación, construyendo abigarradas geometrías sobre el campo de batalla bajo soles inclementes y fríos despiadados, antes de que el álgebra y el cálculo encajaran el mundo en un sistema de coordenadas. Cuando la precisión no la daba el instrumento, sino que la conquistaba su operador. Teodolitos y cintas... Instrumentos nobles para tiempos más civilizados.

La suya era una guerra "sucia", llena de trucos y jugarretas, donde cada uno se buscaba la vida a base de "interpretar" las órdenes recibidas bajo el punto de vista de la necesidad y la precisión exigibles. Cuenta nuestro entrañable veterano cómo los arcos de enlace, que los estados mayores exigían clotoides y bien clotoides, eran sustituidos ya en el campo por la tropa, "con suficiente exactitud",  (para usar la expresión que utiliza con un brillo de picardía en la ilustración con que explica este extremo), por un arco de círculo de radio doble del principal.(KESTING- HEDRICH;7).

Debe haber notado mi leve estremecimiento de incredulidad, porque se ha apresurado a explicarme, con un cierto retintín, que el arco de la clotoide es más largo que el circular. Empieza a la distancia b (superposición de la clotoide) = 0,732 x a contada sobre la recta antes del principio del arco circular VA, o sea en el punto UA (inicial de la clotoide) y termina a la misma distancia más allá del punto final del arco circular VE, en el que éste se transforma en el arco de círculo principal, o sea en el punto UE (final de la clotoide). Desde ese mismo instante el tema ha dejado visiblemente de interesarle. No está por la labor de sustentar sus extraordinarias afirmaciones con árduas demostraciones geométricas.

Se ha cerrado en banda, vamos. Se regodea observando las muecas que traducen mi incredulidad al descubrir que la verificación de sus tácticas de asalto me van a llevar mucho más lejos de la mera consideración del archiconocido

...

   Y ahí lo tengo, al viejo cabrón, tomando el fresquito bien despatarrado sobre el atril, en plan "chaise longue", mientras me afano, sin acabar de encontrar el quid de la cuestión, con las ecuaciones de Fresnel.

Por suerte uno tiene sus recursos. He notado un leve estremecimiento en la fuerza, como si millones de voces gritaran un momento "¡Gilipollas!"... y después se hiciera el silencio... Así que he tirado de Google y he descubierto justo lo que necesitaba: en 1944, Antonio Lleó de La Viña, alumno de la Escuela de Caminos había estudiado el problema de la aproximación óptima de la clotoide teórica por una curva circular de acceso... No soy un tipo elegante. Le he refrotado el pdf por las narices al Kesting- Hedrich después de recorrer la habitación de arriba a abajo, dando saltitos y escenificando una danza guerrera maorí. "¡Cabrones los de comunicaciones!", ha dicho, "... ¡Ni de coña lo hubieras deducido tú, sin ayuda de tus contactos".

¡Bah...! La demostración tampoco es tan complicada... Seguro que la hubiera deducido... Con tiempo, claro. ¿O no?... 

¡Tengo que repasar mates!

Muerte en la reserva

En el artículo El oscilador armónico vimos cómo partiendo del Principio de Conservación de la Energía podía deducirse la descripción cinemática del movimiento armónico simple. En este caso jugaremos con la Ley del enfriamiento de Newton de la mano de un magnífico libro, Ecuaciones diferenciales en la práctica, de V. V. Amelkin¹ , que aprovecho para recomendar a los que lean esta página.

Amelkin en este caso, que titula Muerte en la reserva, desarrolla una amena investigación físico- matemática en torno al supuesto de la muerte de un jabalí en un momento a determinar a partir del estudio del enfriamiento del cadáver. Se trata de uno de los veinte casos particulares desarrollados en el primer capítulo de la obra con la intención de estudiar la construcción de modelos diferenciales, que aborda desde perspectivas tan diferentes como puedan ser las del militar o el especialista en publicidad, sin olvidar problemas clásicos como el de la braquistocrona o el del péndulo simple. El segundo y último capítulo está dedicado a los métodos cualitativos de análisis de modelos diferenciales, a partir, igualmente, del estudio de diferentes casos.

Muerte en la reserva

Durante una ronda de inspección por una reserva, dos guardabosques descubrieron el cadáver de un jabalí. Un examen preliminar permitió concluir que el animal falleció instantáneamente a causa de un balazo de un cazador furtivo. (...). Al poco tiempo aparecieron dos sujetos y se dirigieron sin rodeos hacia el jabalí. Al ser detenidos, los desconocidos negaron rotundamente su participación en el delito. Aunque los guardabosques tenían pruebas indirectas de su culpabilidad, para obtener una prueba fehaciente era necesario determinar el instante exacto en que el jabalí fue muerto.

Metodologías aplicables en la resolución del caso: el tercer grado o la ley de radiación de calor. Afortunadamente para los furtivos es un hecho bien establecido que la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el medio ambiente es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio:

(1)

Donde x es la temperatura del cuerpo en un instante t, a es la temperatura del medio ambiente y k es un factor positivo de proporcionalidad.

Si asumimos a = cte, la solución es inmediata al ser (1) una ecuación diferencial de variables separables:

(2)

Donde x(0) es la temperatura del cuerpo en el instante de la muerte. Amelkin nos da las condiciones iniciales que necesitamos para calcular k: Si en el instante en que fueron detenidos los sospechosos la temperatura x del cuerpo del jabalí era igual a 31ºC  y pasada una hora era igual a 29ºC, entonces, considerando que en el instante del disparo x = 37ºC y a = 21ºC, y tomando el instante de arresto como t=0 es posible determinar el momento del disparo. De acuerdo con (2):

Sabiendo que la temperatura de los mamíferos es de 37ºC y sustituyendo ahora en (2) con el valor k calculado:

Quedó así establecido que el disparo se produjo 2hrs 6' antes antes de la detención de los sospechosos, en un preciso momento para el que éstos carecían de cualquier forma de coartada.

Lo que Amelkin y los guardabosques no podían saber es que aquél jabalí sufría un terrible acceso de fiebre ese día, y que su temperatura rondaba los 40ºC. De esta forma la ciencia mal aplicada llevó a la cárcel a dos inocentes...

Lo que sí se plantea el autor es la necesidad de tener en cuenta las variaciones de temperatura del medio, lo que obliga a refinar el modelo matemático propuesto y a tirar de métodos numéricos para resolver la ecuación resultante. Un tema interesante que trataré en un artículo posterior. 

¹ AMELKIN, V.V., Ecuaciones diferenciales en la práctica., Ed. URSS, 2003.

El oscilador armónico:

Ciencias y Letras:


(Gracias a Física y química Chaparil por este vídeo)

El hombre, servidor e intérprete de la naturaleza, ni obra ni comprende más que en proporción de sus descubrimientos experimentales y racionales sobre las leyes de esta naturaleza; fuera de ahí, nada sabe ni nada puede. F. Bacon., Novum organum.


Son grandes mentes -se dijo Teppic-. Estos hombres intentan averiguar cómo funciona el mundo no mediante la magia o la religión, sino metiendo su cerebro en la primera grieta que encuentran y usándolo como palanca para separar los bordes. T. Pratchett., Pirómides.

Es fascinante comprobar cómo las nociones más abstractas se revelan en los fenómenos más cotidianos. La física triunfa donde la alquimia fracasó. Transforma los objetos en símbolos, opera con éstos y los transforma en nuevos símbolos con pleno significado físico. Los fenómenos son descritos por magnitudes que expresan mediante números sus accidentes. Los números se relacionan mediante operaciones matemáticas  y producen nuevos números capaces de completar la caracterización del observable.

Esta manera de ver el mundo significó para Occidente la ruptura del Árbol del Conocimiento en esas dos grandes ramas que Eco caracterizó magistralmente a través de los labios de Guillermo de Baskerville en El nombre de la rosa: la de la nueva ciencia en ciernes:

Fíjate que no hablo de cosas, sino de proposiciones sobre las cosas. La ciencia se ocupa de las proposiciones y de sus términos, y los términos indican cosas iguales. (...). Tengo que creer que mi proposición funciona porque así me lo ha mostrado la experiencia, pero para creerlo tendría que suponer la existencia de unas leyes universales de las que, sin embargo, no puedo hablar..."

Y la de la vieja filosofía:

Cuando cogemos un libro, no debemos preguntarnos qué dice, sino qué quiere decir, como vieron muy bien los viejos comentadores de las escrituras. Tal como lo describen estos libros, el unicornio contiene una verdad moral, alegórica o anagógica, que sigue siendo verdadera, como lo sigue siendo la idea de que la castidad es una noble virtud. Pero en cuanto a la verdad literal, (...), queda por ver de qué dato de experiencia  originaria deriva aquella letra. 

Los objetos del pensamiento y las formalizaciones lógicas con que los relacionamos configuran completamente el pensamiento y éste transforma al pensante. Las matemáticas son, hasta la fecha, el único lenguaje formal capaz de encaminar correctamente el pensamiento humano por los senderos del mundo físico. Pero... ¿Qué hay del mundo interior del pensante?... La gran contribución de la ciencia a este respecto es una ideología basada en sus pretendidas posibilidades. Calma el desasosiego, de momento, aunque no sepamos realmente si se trata de una medicina o de un placebo.

Estos días ando repasando viejos textos, (el Alonso - Finn, viejo conocido de todo estudiante, Classical Mechanics de Kibble y Berkshire y Vibraciones y Ondas, de French), aprovechando los posos de esa vieja sabiduría que queda cuando ya se ha olvidado todo lo que se podía olvidar, y no puedo menos que decir jubiloso con Adso de Melk -¡O sea que hay un orden en el mundo!- y reflexionar esperanzado con Guillermo de Baskerville -¡O sea que hay un poco de orden en mi pobre cabeza!-

El Cosmos contenido en el humilde oscilador armónico: (Kibble, T. W.B y Berkshire, F.H., Classical Mechanics.,ICP, 2004).

Una partícula en equilibrio en un campo conservativo se caracteriza porque la derivada de su función potencial es cero en la posición de la partícula. Consideraremos el movimiento de una partícula cerca de una posición de equilibrio. Supondremos que el punto de equilibrio está precisamente en x = 0 y escogeremos la constante arbitraria en V de tal manera que V(0) = 0. Para pequeños desplazamientos podemos expresar V(x) como un desarrollo de Taylor:

, , 

La curva de potencial es en este caso una parábola, de tal forma que

existen dos puntos 

donde 

 El movimiento descrito es una oscilación entre esos dos puntos a y -a. Por la definición de la función potencial V(x):

Donde F(x) es la fuerza que corresponde a la energía potencial V(x). 

 que será la ecuación del movimiento

El problema se reduce a resolver esta ecuación diferencial lineal. Sabemos que estas ecuaciones satisfacen el principio de superposición, o sea, que si:

son soluciones, también lo será cualquier combinación lineal de estas soluciones: 

De donde

Supongamos k > 0, (V tiene un mínimo en x = 0), en este caso la función de potencial es la de un oscilador armónico simple:

son soluciones de la ecuación:

QED

Por tanto, la solución general será:

Si cuando t = 0, la partícula está en x(0) con velocidad v(0) podemos deducir con facilidad el significado físico de las constantes c y d:

La solución, en cambio, suele presentarse de la forma:

 donde

  es la frecuencia angular del movimiento y es la fase inicial. 

Por tanto, el movimiento está confinado a los valores entre x = A y x = -A.  (A es denominado "amplitud del movimiento") y es ciclico con un período T igual al tiempo transcurrido entre dos momentos sucesivos de iguales desplazamiento x y velocidad, o sea:

Tenemos descrita la cinemática, y la dinámica, del oscilador armónico partiendo del mismísimo Principio de Conservación de la Energía. ¿Esperanzador?

Bibliografía:

Kibble, Tom W.B y Berkshire, Frank H., Classical Mechanics., Imperial Collegue Press, 2004.
French, A.P., Vibraciones y ondas, Ed. Reverté, 1974.
Eco, U., El nombre de la Rosa., Ed. Círculo de Lectores,1985.
Bacon, F., Novum organum.,RBA, 1984
Pratchett, T., Pirómides., Plaza y Janés, 1990.