Tercios españoles: instrumentos de medición: ¿cuadrante para medir distancias remotas?

Como pudimos ver en un artículo anterior los geómetras del siglo XVI desarrollaron algunos instrumentos para estimar distancias de manera indirecta, aunque los prácticos aprendieron rápidamente a desconfiar de ellos.

En este texto examinaremos el cuadrante geométrico que se basa, también, en las propiedades de los triángulos rectángulos, (en este caso del establecimiento de dos triángulos semejantes). Se trata de un instrumento mucho más elaborado y preciso que la escuadra, que simplifica y afina significativamente la medición de la magnitud requerida para conocer la distancia incógnita.

Cuadrante geométrico: Juan Pérez de Moya., Tratado de geometría práctica y especulativa.

El cuadrante consiste en un cuadrado en cuyo vértice C se dispone una varilla giratoria portadora de sendas pínulas para lanzar visuales. Sobre los lados A.D. y D.F. se preparan sendas reglas graduadas en 12 segmentos. 

Si queremos medir la distancia a.b. del gráfico que mostramos abajo,  dispondremos el cuadrante con el vértice a. en el lugar desde donde queremos medir y colimaremos el punto b. , cuya distancia al anterior queremos conocer, mediante una visual a partir de la varilla móvil con el concurso de las pínulas. Mediremos sobre el lado d.f. la división en que intersecta la varilla dicho lado del cuadrante.

Uso del cuadrante geométrico: Juan Pérez de Moya., Tratado de geometría práctica y especulativa.

Sea e. el punto de intersección citado. Como podemos comprobar los ángulos d.c.e. y a.b.c. son iguales y determinan dos triángulos semejantes. Establecido esto podemos deducir fácilmente una regla para  deducir la distancia a.b.

Es decir: la distancia a.b. que queremos medir será el cuadrado del lado del cuadrante partido por la distancia intersectada sobre d.f. por la visual c.b., fórmula idéntica a la que utilizamos para la escuadra.

Supongamos que utilizamos un cuadrante de 1.5 m de lado y graduado en cm en el mismo supuesto que utilizamos para la escuadra. Si visamos un punto b. situado a 45 m. de a. la distancia que mediremos sobre el instrumento sería teóricamente, como en el caso de la escuadra, de 0.05 m., en todo caso, más fáciles de medir con cierta precisión que en el caso de aquella.

La propagación del error en la distancia a medir que cometemos en función de la distancia medida sigue por tanto la misma regla que examinamos en el caso de la escuadra:

Para cada caso tendremos una error idéntico al que encontramos para la escuadra, aunque es justo considerar que la precisión de nuestra medida en el caso de la escuadra ha sido ciertamente exagerada y que, en el caso de cuadrante, con un instrumento bien construido, podríamos afinar mucho más allá del centímetro. Si suponemos una precisión de 1 mm tendríamos:

Que sigue siendo un error más que apreciable, y eso, en condiciones "de laboratorio". Si pensamos en las condiciones de trabajo de unos instrumentos artesanales, (con sus reglas graduadas en 12 partes, además, y no en mm), podemos estar seguros de que la precisión que debemos suponerles es mucho menor.

Aún presentaré algún instrumento más, pero, dado que se basan en su mayor parte en idénticos principios, proporcionan precisiones similares, siendo la única diferencia entre unos y otros la facilidad con que se puede establecer la medida directa de que se deriva la distancia a conocer. Como afirma Pérez de Moya en su obra:

Nota el modo desta demonstracion porque en este genero de medida con qualquiera instrumento que se mida se han de causar estos triangulos y en todos se ha de demonstrar por estas razones, porque no sea necessario repetir muchas vezes vnos mismos preceptos, que es enojoso a los estudiosos.

Pérez de Moya, Juan., Tratado de Geometria practica y speculatiua., Alcalá.,1573., Lib. II. Cap. V. Art. Primero.

Se trata en estos casos, como iremos viendo, de máquinas filosóficas más que de instrumentos de medida propiamente dichos. Como recuerda el Guillermo de Baskerville imaginado por Eco en El nombre de la rosa:

"Ignoro a qué pueda deberse, pero nunca he visto una máquina que, perfecta en la descripción de los filósofos, resulte igual de perfecta en su funcionamiento mecánico. En cambio, la hoz del campesino, que jamás ha descrito filósofo alguno, funciona como corresponde.

Ya vimos en un artículo anterior cómo el Maestre Don Cristobal de Rojas mostraba una forma de poner en buena práctica el principio geométrico que rige el uso del cuadrante geométrico mediante el replanteo sobre el terreno de uno de grandes dimensiones. Se trata del único método para medir distancias remotas al que atribuye fiabilidad, si bien descansa sobre la medida directa de distancias más o menos grandes con el concurso de la tradicional cuerda.

No tardará mucho la incipiente ingeniería en dotarse de verdaderos instrumentos y sobre todo de métodos capaces de asegurar una precisión mínima al trabajo de campo. A ellos dedicaré uno de los próximos artículos.

Tercios españoles: instrumentos de medición: ¿escuadra para medir distancias remotas?

Ya presenté en un artículo anterior el instrumento-método topográfico más preciso con que podían contar los ingenieros del siglo XVI, en este vamos a echarle un vistazo a la escuadra como instrumento para medir distancias de manera "remota".

Aquí podemos ver un gráfico detallado de la escuadra y su uso. El principio geométrico en que parece basarse su funcionamiento es la caracterización de la altura de un triángulo rectángulo como media proporcional de los segmentos que determina sobre la base de dicho triángulo.

El instrumento consiste en una escuadra apoyada por el vértice que contiene su ángulo recto C en una vara de longitud fija aC y provista de una mira en su lado más largo. Apuntando el lado largo al punto cuya distancia se pretende medir desde a,  girando la escuadra sobre C, el observador construye un triángulo rectángulo cuya altura aC es conocida y que determina dos segmentos de los que dicha altura es media proporcional, el menor de los cuales, da, puede medir. Conocidos esos dos datos el cálculo de la distancia es inmediato.

Sin embargo, el mismo principio en que se basa este instrumento limita fuertemente su alcance, y es que, aún suponiendo las mejores condiciones, (como la colinealidad del punto de colimación, el apoyo de la vara y el que delimita el triángulo rectángulo), la distancia máxima que es capaz de medir depende precisamente de la altura de la vara aC. Si suponemos aC = 1.50 m y hacemos d = 0.05m, sin entrar a valorar, de momento, los errores introducidos al medir dicha distancia, tendremos que D = 45 m, distancia que no es difícil de medir por procedimientos directos, como una cuerda,  con error mucho menor.

Supongamos un error cometido en la medida x = 0.05 m de tan sólo 0.01 m, h = 1.5 m. ( x = d; h = aC).

Medir una distancia de 45 m. con un error de 9 m. no resulta útil. 

Tal vez se trate de uno de esos instrumentos teóricamente maravillosos que jamás fueron utilizados en el campo, como se quejaba el Maestre don Cristóbal de Rojas, Cap. XXII "Que enseña a medir distancias".

"En esta materia de medir distancias ay grandes disputas entre los teoricos, y praticos, que los teoricos piensan, que como miden en vn papel, ô en vna tabla vna distancia, que assi les ha de suceder en la campaña, y se engañan en mucho, como ya tengo desengañado à alguno, que sobre vna mesa no avia quien se pudiera valer con el, y trayendo grandes especulaciones y demostraciones, y sacandole al campo, adonde yo le avia pedido, que pusiesse por la obra todo lo que me auia dicho, y quebrado la cabeça, en aquel punto se le fue toda la ciencia a los pies, y no supo dar cuenta de la medida porque en 800 passos, erro los 500. por lo qual se desengaño, y de alli adelante començo à exercitarse en la esperiencia..."

Tercios españoles: del arte de la guerra a la ciencia de la guerra. Medios y dificultades.

Introducción.

Comencé esta serie de artículos con una curiosidad geométrica, descubierta por Tartaglia, que recoge Rojas en un capítulo de su obra.  El hecho de que Rojas se haga eco de un desarrollo matemático al que, no obstante, no encuentra uso directo en el objeto declarado de su libro, nos lo muestra como un hombre preocupado por los avances de las matemáticas. 

Que tal solución, en exceso complicada, sirva únicamente para construir las reglas y calibres de que se dotan los artilleros para resolver el problema en la práctica, demuestra que ya no se siente como suficiente el uso de reglas, a modo de trucos, sancionadas por el uso y la costumbre, sino que, además, el ingeniero quiere saber qué hay detrás. En un tiempo en que las necesidades de precisión van mucho más allá de las exigencias de tiempos pretéritos y en el que los instrumentos necesarios son artesanales ésto es de la mayor importancia.

 Se ha establecido de hecho ese diálogo permanente entre los desarrollos teóricos y las necesidades prácticas que el Renacimiento acuñó como "progreso".

En este segundo artículo aspiro a plantear en líneas generales el problema a que se enfrenta el ingeniero militar de finales del siglo XVI en los términos en que Rojas lo expone en su obra.

Pero López de Turriellas. Práctico.

<<Déjenme que me presente a vuesas mercedes. Mi gracia es Pero López de Turriellas, tengo cincuenta y cinco años y sirvo desde los trece en los Tercios de Su Majestad. Muchos oficios he tenido a tal servicio, que cuando apenas apuntaba el bozo ya sabía yo lo que es forrajear en campo enemigo, y antes aún de que mi señor y Capitán Don Cristobal de Rojas reparase en mi persona y me tomase como práctico, cultivé a mayor Gloria de Nuestro Señor Jesucristo y de las Armas de Su Majestad, las artes de la pica, la espada y el mosquete, que cuanto hoy sé lo aprendí entre encamisada y encamisada, y antes de Marte que de las Musas.

Dice a menudo mi Señor Don Cristobal que tres cosas tiene que saber el ingeniero (1): la primera, mucha parte de Matemáticas tal y como las contó el griego Euclides, la segunda la Aritmética, que sirve para saber el gasto de la fábrica y para su construcción con sus distancias y proporciones, y la tercera saber reconocer la posición, que es la que más cuadra al oficio de soldado.

Tal soy yo que he alcanzado, a decir de Don Cristobal, la inteligencia mecánica de estas artes como para saber medir, que es primera cosa y principal para el ingeniero. Y no se me ocultan tampoco las virtudes y los vicios de los sitios, para su defensa o para ofenderlos, que muchas son las fábricas cuyo orgullo he sostenido o humillado junto a mis camaradas a despecho de los números de los ingenieros de los herejes.

Y así conozco los triángulos, y las figuras cuadriláteras y las trapecias, y la regla de tres y los quebrados y la raíz cuadrada que son como el alma de las fábricas y disponen sus partes y proporciones. Y es esta alma de tal condición que anima nuestras fortificaciones igual que animaron las de los antiguos que ya no nos sirven en este tiempo conforme al arte militar presente, (que parece maravilla), y que sirve lo mismo a los propósitos de levantar la fábrica para estorbar al enemigo que para conocer los estorbos con que el enemigo confía desbaratar el valor de nuestros soldados.

Y no puede el práctico cojear de ninguna desas artes que las unas van en auxilio de las otras y, sobre todo a la hora de medir las superfices de las figuras, llega la Geometría donde le faltan números a la Aritmética, que son las superficies problemas de cuadrados y raíces y son muchas las veces que aparecen bajo la forma de números sordos, y que es mejor sacar enteros por la longitud de la línea, que es cosa de maravilla y quiero explicar aquí a vuesas mercedes.

Que si quiero yo saber el lado del cuadrado que tiene una superficie dada para plantar los reales, por ejemplo, de Nuestro Señor el Rey Don Felipe y que quepan dos compañías, tendré que sacar la raíz del número de la superficie y es suerte si sale entero, y si quebrado no saldrá exacto y por éso, porque es menester en cosas del ejército disponerlo todo con ciencia exacta, será mejor medir la linea del cuadrado como enseña la Geometría, que es exacta.

Y digo que si quiero saber qué lado tengo que ponerle a un cuadrado para que haga 67 estadales de superficie porque sea menester la tal medida, calcularé la raíz de 67 y buscaré número que multiplicado en si se allegue lo mas que ser pudiere al 67 el cual será el 8, porque el nueve multiplicado en sí ya es mayor que el 67, y ocho veces ocho son sesenta y cuatro que si los resto de 67 quedan 3 que los pongo sobre una raya por nominador y debajo, por denominador, la raíz duplicada y una más, que serán 17 que parecera así diciendo derechamente que la raíz cuadrada de 67 son 8 y 3/17 avos que es número sordo.

Por éso tomaré un rectangulo de lados tales que valga 67 estadales y que es de 67 estadales de un lado y de un estadal del otro porque no hay otro número sino el uno que divida al dicho 67. Y haré dos líneas A.B. y C.D. de un estadal la una y de 67 la otra como quedó dicho, la una a continuación de la otra y es cosa que se hace con la regla y el compás.

Y tendré la linea A.D que medirá 68 estadales, como es dicho, y sacaré su centro, que cosa es sencilla que se hace con las dichas regla y compás, y meteré esta línea debajo de un medio círculo poniendo el compás en la mitad de la línea y donde comenzaba la linea C.D. que es punto D. se levantará una perpendicular que toque el círculo que es la línea D.O. y será el lado del cuadrado que tiene 67 estadales de superficie, porque la dicha D.O. es media proporcional y todas tres líneas lo son, y es ésta regla maravillosa que permite también apreciar distancias con buen juicio sin tener que medirlas con la cuerda de estadales, que ya les mostraré a vuestras mercedes en otra ocasión. Y será la línea exacta más que puede serlo el número que nos dice la Aritmética y con esta razón se sacará la raíz cuadrada de cualquier número sordo o irracional.Y va así la Geometría al auxilio de la Aritmética.

Dicen los sabios que con estas razones y otras no hay fábrica que pueda tener defecto, salvo error de maestría del ingeniero y del práctico, y no es tal, que, en esta materia de medir distancias, hay grandes disputas entre los teóricos y los prácticos, que como dice mi capitán Don Cristobal piensan que como miden en un papel o en una tabla una distancia que así les ha de suceder en la campaña y se engañan en mucho, que hay que ejercitarse en las artes de la experiencia.

Y la causa de todo este engaño es porque siendo la distancia que se ha de medir de algunos mil o dos mil pasos y el instrumento no mayor que de un pie cuadrado, viene a ser una pequeña falta del instrumento muy grande en la distancia y ésto sucede a la letra en las máquinas o ingenios que en los modelos parecen muy verdaderos y al hacerlos grandes salen muy pesados y diferentes de lo que prometían en pequeños, porque son como las barrenas de los carpinteros que con una barrena chica se hace con poco trabajo un agujero aun madero y si quieren hacer un agujero que tuviese un palmo de diámetro y se hiciese una barrena tan grande que tomase todo el agujero al tiempo de torcer para ir barrenando no será posible porque o faltará la fuerza o se romperá el madero. (2)

Y así es opinión de Don Cristobal que el instrumento con que se haya de medir alguna distancia sea el mayor que se pudiere, porque menor será el error.

Y digo que medir es cosa asaz difícil que piensan los teóricos y los que no saben dello y que muchas veces no es posible medir la distancia que se quiere con el instrumento y que el práctico tiene que saber cómo medir los sitios a los que no puede acceder que puede ser el ancho de un río o un área batida por el enemigo y que se miden por la Geometría y es cosa de saber Geometría y de ser fino en la medida para que no yerre el práctico en cosa que puede costar la vida de sus compañeros.

Y se hace ésto con la escuadra, por ejemplo, que gusta Don Cristobal de instrumentos más complicados de lo que ya os hablará él, pero es el que más tengo a mi sabor. Digo que si quiero tomar la distancia A.E. y no puedo medirla por lo que fuera cogeré la escuadra y la pondré en B. de guisa que apunto el uno de sus lados a A. que es inaccesible y marcaré la línea que dibuja el otro lado y la prolongaré con una señal y me llevaré la escuadra sobre esta línea a tacto hasta un punto D. que apunte el uno de sus lados a B. y el otro a A. que no puedo llegar y digo que la distancia entre B. y D. es exacta a la A.B. que no podía medir.

Y que también puede hacerse éso por proporciones poniendo un cuadrado en la tierra tan grande como se pudiere pues cuanto mayor fuere tanto será más cierta la medida. Y se hará de tal forma este cuadrado que un lado suyo que será E.C. mire al punto A. de la otra banda del río, por ejemplo, y supongo que este cuadrado tiene por cada lado 80. pies, que copio lo que explica Don Cristobal en su obra, Digo pues que se plante el cuadrante en el punto D. y se mire al punto A. y se note por donde corta la línea al cuadrado que se hizo en la tierra: y supone Don Cristobal que corta por la mitad que fue a los 40. pies. Hecho ésto se ordene una regla de 3. diziendo: "¿si 40. vinieron de 80. los mesmos 80. de donde vendrán?". Multiplicarán los 80. con los 80. y harán justamente 6400. los cuales se partrán por los 40. y saldrán 160 pies. y tantos pies hay desde el punto C. de cuadrado hasta el punto A. de la otra parte del río.

Y dice don Cristobal que esta medida se tendrá por la mejor y más cierta excepto la anterior que dije que en esa no se puede errar sino adrede.

Y con todo y no ser la parte mas fácil deste arte, hay que hacer practicarla a veces bajo el fuego de los herejes y cuidadosos de sus celadas, y además saber sacar ángulos de los rectos para edificar las fábricas que tienen figuras de pentágonos y de exágonos y de heptágonos y más, que son las que el arte militar prefiere.>>

A modo de conclusión.

A los ingenieros de la época les faltaba la más importante de las herramientas, un conjunto de números continuo, el de los reales, de manera que su aritmética iba de la mano de la geometría para lograr resultados con la precisión apetecida. Son muchos los problemas que se resuelven en ingeniería, también hoy en día, mediante el recurso a sistemas CAD, que son verdaderas calculadoras geométricas.

La solución gráfica de la raíz cuadrada se basa en la Proposición XIII del Libro VI. de Euclides, que cita el propio Cristobal de Rojas (3), y permite hallar la media proporcional de dos segmentos. Esta proposición fundamenta igualmente el instrumento a que alude don Pero en su discurso, que permite medir distancias de manera indirecta con tal de poder lanzar una visual, como veremos en otro artículo.

Las limitaciones de los instrumentos y las quejas de don Cristobal respecto a las pretensiones de exactitud de los teóricos y su incipiente reflexión sobre las fuentes de error y su propagación, muestran a las claras que nos encontramos ya ante ingenieros bien caracterizados.

Notas:

(1) Op. Cit. fol. I.

(2) Op. Cit. fol. 80.

(3) Op. Cit. fol. 12.v.

Tercios españoles: del arte de la guerra a la ciencia de la guerra. El problema del calibre

Presentación:

Éste es el primero de una serie de artículos en que iré dando cuenta de cómo la Ciencia se fue introduciendo por las rendijas del viejo "Arte de la Guerra", (de la mano de la revolución renacentista de la poliorcética y de la artillería, sobre todo), para dar lugar a la ingeniería militar.

No voy a hacer una historia de la ingeniería militar, sino que voy a presentar los conocimientos y métodos de que ésta se fue dotando a partir de las fuentes originales a que tenemos acceso gracias a la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico, dependiente del Ministerio de Cultura, y a algunas otras procedentes de otras bibliotecas y archivos.

Procuraré formular cada problema tal y como se presentó a nuestros antecesores, de acuerdo con el conocimiento de su época, (y la forma en que lo aplicaron), para comprender las soluciones a las que llegaron. Cuando sea pertinente, recurriré a nuestras matemáticas para valorar o aclarar las viejas soluciones.

En general veremos cómo se trata de problemas de aplicación en arquitectura, topografía o balística, que se abordan geométricamente, en vez de, como estamos acostumbrados, algebraicamente. Aún faltaban algunas décadas para que Descartes abriera nuevos caminos.

Hace años que me interesan las obras antiguas sobre matemáticas, y de ellas he sacado, sobre todo, un íntimo convencimiento de que a ellas se accede por la puerta de la geometría. Que cada uno debe rehacer en su mente el camino que jalonan los problemas que en cada momento preocuparon a los matemáticos. Que deberíamos emplear no pocas horas de nuestra infancia en trabajar "a la euclidea", con regla y compás, para aprender a pensar matemáticamente.

Artillería. El problema del calibre.

<<Llamadme Fernando. Soy un artillero español del siglo XVI, y tengo un problema. La estandarización de las piezas a las que sirvo es muy deficiente. De hecho, no existe, en buen español, la palabra "estandarización", que me suena a lindeza francesa o barrabasada flamenca.

A decir del bueno de D. Lázaro de la Isla en su Breve tratado del arte de la artillería, geometría y artificios de fuego,  que dirigió al Capitán General de Artillería, D. Juan de Acuña  el año de 1595, son tantos los conocimientos que debo dominar, (y tantas y tan importantes las cosas que de ello dependen), que me sorprendo al caer en la cuenta de la infinidad de sentencias del libro que sabidas tengo desde mozo sin saber ni como las aprendí.

No soy un hombre de letras, (que bien estorbado que fui en la escuela), pero como dice D. Lázaro en el Capítulo I, no me es ajeno el uso de la regla, la escuadra, la brújula, y del nivel, que usaron los antiguos sabios, como no lo es el de la pala y la azada que de siempre he visto en manos de mis mayores.

Convengo en que no sé explicar con números y papeles por qué ni cómo funcionan esos instrumentos del oficio. Pero para suplir, si hace falta, esa regla, a que alude D. Lázaro, en que viene señalado el peso de las balas y las bocas de las piezas ya tengo yo años de experiencia en Flandes.

Con ésto y todo, hete aquí que en este Año del Señor de 1598, se nos presenta un oficialillo con otro libro, (éste del Capitán D. Cristobal de Rojas), que se titula Teórica y práctica de fortificación, conforme las medidas y defensas destos tiempos, y que menos me gusta que el de D. Lázaro, (que aún dice cosa útil entre tanta letra),  y que, con abundancia de boato, de papel y reglas, viene a enseñarme cómo sacar el diámetro de una bala para un determinado peso a partir de otra de diámetro y peso conocidos, sin que me vaya a valer ni un escudo de ventaja.

"Esta curiosa regla de Geometría dicen que la inventó Nicolao Tartalia, y es de tal estimación, que holgaran mucho saberla los Delios, cuando tuvieron necesidad de doblar el ara de Apolo, para lo cual se juntaron grandes Filósofos, y nunca supieron la razón de ella. Dice su fábrica así. Sea un diámetro de un cubo la línea AB, y que pese 15 libras: piden que se dé otro diámetro que se cuerpo, o cubo, sea doblado al de la AB que quiere decir, que pese 30 libras, y los mismo se entenderá, si fuesen onzas, porque la regla es muy general, y porque se pretende sacar un cuerpo doblado a la AB. Se pondrá la dicha línea AB en una línea recta dos veces de largo, y luego se hará un rectángulo que tenga de ancho la mesma línea AB como parece en esta planta.

Dize esta regla, que hecho el rectángulo, como dicho es, se extenderán las dos líneas ED y la EA muy largas acaso, y luego se tirarán las dos líneas diagonales del dicho rectángulo, que serán AD y CE y se cruzarán en el punto G y fabricado ésto se pondrá una regla que toque en la esquina del rectángulo del punto C y se ajustará de tal suerte la dicha regla que estén distantes por partes iguales el punto H y el punto F del centro G y luego se tirará la línea HF que pase justamente por el punto C y digo que la línea DF es el diámetro duplo a la AB en potencia como se prueba por la 12 definición del 5 de Euclides y por la 36 del undécimo y con esta orden podrá hacer el artillero el calibro, porque si quiere duplicar, o triplicar, o cuadruplicar una bala, pondrá el diámetro de la primera bala por anchura de un rectángulo, y por largura de él, tantos diámetros de largo, cuanto pretendiere que sea mayor la segunda bala que quiere hacer." Op. Cit. Cap. XXI.

Que ancho se quedó nuestro buen Capitán con este discurso, que si no fuera por el dibujo que acompaña ni siquiera sabríamos de qué habla, salvo de que la culpa de este desaguisado de rayas y compases es del tartaglia ése, italiano.

Con todo me he esforzado por comprender, porque no he yo de dejar de aprender algo que a mi oficio atañe, por más que vote a los demonios del alma de los que tal enredo nos sacan de sus cabezas a tantos españoles honrados que no aspiramos a otra cosa que a luchar por la Fe y por Nuestro Rey contra los herejes. Así que el Señor Oficial ha prometido volver ahora con una copia del Tartaglia, que así le llaman, para esclarecer tanta oscuridad como hay en este texto, que antes pareciera locura de alquimista que manual para la batalla.

Y helo aquí al Sr. Oficial, con un libro más gordo si cabe, que parece que pueda albergar entre sus páginas a todos los santos de la cristiandad, y encima en jerigonza italiana:

"Volendo adonque trovare per linea, poniamo la radice cuba di 10. Questo 10 (come di sopra e stato detto) s'intende, o che si debbe intendere 10 misure corporee, horponiamo she siano 10 corpetti simili al nostro corpetto .c. di sopra posto in margine, delliquali 10 corpetti la intencion nostra e di volerne fare un cubo solo et saper quanto quel sara per lato, ouer che diremo, eglie un cubo, che l'area sua corporale é 10 di detti corpetti .c. et voressimo sapere quanto sia il lato di tal cubo,cioe quanto sia di quelle misurette lineali (simile alla .a.) per lato la qual linetta .a. per esser stata suposta per un piede et per piede la chiameremo, per essequir adonque questo effetto tira una linea cioe la .de. & di quella ne cavarai la .df. che sia precisamente 10 piedi (cioe la dg & la hf) sia precisamente piedi.i. (tal che la detta superficie venira a esser 10 piedi superficiali) fatto questo tira in quella li duoi diametri .dh. & .gf. (per trovar il centro .i.) dapoi slonga il lato .dg. poníamo fino .ak. (ponto non determinato) fatto questo piglia il tuo compasso (facendo centro il ponto i) & con quello cercarai di signar in ponto sopra la linea .gk. & un'altro (senza variar il compasso dal centro .i.) sopra la linea .fe. liquali duoi ponti siano di tal qualita che tirando una linea retta da uno a l'altro di quelli  tal linea passi precisamente per il ponto .h. & per trouar questi duoi ponti cosi conditionati bisogna procedere a tasto ne in questo modo prima a nostro giudicio signaremo li duoi ponti .l. & .m. & dapoi signati che siano isperimentaremo se tirando da l'uno a l'altro la detta linea retta se quella transira precisamente per il detto ponto h & perche in vero tirando la detta linea dal detto ponto .l. al ponto .m. quella transiria alquanto disopra dal detto ponto .h. & pero ne signaremo duoi altri stringendo alquanto il nostro compasso, & questi secondi pongo che siano .no. ma tirando la detta linea dal ponto .n. al ponto .o. trouaremo che quella transira al quanto piu baso del detto ponto .h. & pero slargaremo alquanto il nostro compasso, & con quello signaremos glialtri duoi ponti .p. & .q. & perche a tirar la detta linea dal ponto .p. all ponto .q. quel passa pontalmente per il detto ponto .h. como sesibilmente si vede, concluderemo la linea .fq. esser la radice cuba di 10 vero è che bisogna esser diligentissimo nell'operare altramente malamente rispondería al senso essempi gratia cauando la propinqua radice cuba di 10 per la nostra regola trouaremos quella esser 2 1/9 & pero se la nostra operatione geometrica sara stata fatta con diligentia la detta .fq. doveria esser circa piedi 2 1/9 cioe circa due di quelle lineete .a. et un nono di una di quelle & cosi con compasso te ne potrai chiarire. "

Ya sudamos con tanta letra y tanta raya como si fuéramos galeotes, que menos mal que el Pater, (que sabe de latines más que nuestro señor el Papa), ha cogido un palo y nos lo está dibujando sobre el barro. Visto queda que no fuera de mayor dificultad la empresa, (si hubiere necesidad della, que jamás en mis años de campaña me pusieron las circunstancias ante tal necesidad), si no fuera porque se ha de encontrar los puntos que determinan la inclinación de la raya que pasa por C , y así la respuesta, procediendo "a tasto", como dice el tartaglia,  que s'hecha de menos forma de hacerlo exactamente con la regla y el compás.

No es difícil cosa, si se sabe explicar, que, por ejemplo, para conseguir una bala de doble peso que una de diámetro tres dedos, hay que dibujar esa distancia en el papel AB, y luego prolongarla en su longitud hasta un punto C. Que a partir de ahí trasladamos perpedicularmente el dicho diámetro de la bala desde A verticalmente hacia abajo hasta el punto D y, con estos tres, trazamos el rectángulo y sus diagonales que se cruzan en un punto O. Y que si, de esta guisa, prolongamos los lados AD y DE y conseguimos situar en ellos dos puntos tales que equidisten de O y que definan una recta que contenga a C, cosa esta que difícil es de atinar a la primera, a fé mía,  la distancia entre el punto E del rectángulo inicial y el punto que llama el Pater "dseta", (que nada se le oculta del alfabeto gregesco), será la que tengo que usar como diámetro de la bala que me solicitan, y que tendrá el peso doble que la anterior.

Que no se yo cómo a Micer Tartaglia le vino a la mente cosa semejante que ni a los sabios se les había ocurrido, y que, de todos modos, más parece cosa como de oficiales, d'esos que razonan como Don Cristobal, que quedan convencidos de las cosas "por la 12 definición del 5 de Euclides y por la 36 del undécimo", que no de honrados artilleros. >>

A modo de conclusión:


Más parece cosa que quitara el sueño a un maestro armero que a un artillero ésta que nos ocupa, pero en todo caso, nos proporciona una ocasión para comprobar lo mucho que debemos a los "humildes" avances de la aritmética. Nociones tan elementales como el volumen, (y el peso en este caso, con permiso de la densidad), quedan por entero fuera de la capacidad de cálculo de la mayor parte de las personas de la época, salvo unos pocos casos particulares en que el resultado de la raíz cúbica es entero.

Tartaglia fue famoso, entre otras cosas, por haber resuelto la ecuación de tercer grado, cuya solución anterior, por Scipione del Ferro, no había transcendido. Naturalmente el problema de la raíz cúbica no podía dejar de interesarle. La solución gráfica que propuso es antes una demostración geométrica de la radicación cúbica, que un verdadero método para resolver los problemas planteados, dado que no especifica la manera de encontrar exactamente los puntos que determinan la solución con la regla y el compás, sino que es la solución la que determina exactamente los citados puntos. Como regla práctica de oficio, parece más bien que la solución del problema planteado pasase simplemente por el uso de las reglas que cita Lázaro de la Isla.

Nosotros, dotados de métodos más poderosos, podemos hoy hacer este cálculo con la exactitud que precisemos sin más que recurrir a la calculadora:

Para el caso de una bala esférica buscamos aquel radio R que cumpla que  V/(2V) = r^3/R^3

O sea, R = (2r^3)^(1/3), y para el caso que nos ocupa,  r = 3 => R = 3,78.

El método gráfico ha arrojado un resultado de 3,76 que no está mal, y que se habría podido ajustar aún más... Pero claro... El Pater no tenía Geogebra.

La Danza Macabra como realismo grotesco.

La Danza Macabra como realismo grotesco. (Primera parte)

Tales fuemos como sos

tales sereis como nos.

Pues conmigo entrareis en la danza

perdereis del mundo la esperanza.

En este guiador todos pensareis

pues en el mundo poco estareys.

Fuerte la nuestra suerte

que a todos nos lleva la muerte.

Filacterias de una de las Danzas de la Muerte del Convento de Santa Eulalia de Pamplona. En ESPAÑOL BERTRÁN, F., "Lo macabro en el gótico hispano"., Cuadernos de Arte Español.,nº 70, Historia 16., 1992, pág. 26

La Danza Macabra

Los historiadores del arte denominan Danza Macabra a la representación, habitualmente pictórica, de una cola de vivos y muertos unidos por las manos en el acto de bailar. Para Chaunu¹ las primeras grandes representaciones murales aparecen en algunos cementerios franceses en las postrimerías del siglo XIV, destacando la del Cementerio de los Inocentes de París que se fecha en 1425, hoy perdida.

Danza Macabra de Clusone, Bergamo, Italia

La mayor parte de los autores las relacionan con el tema del Encuentro entre los tres muertos y los tres vivos, que se desarrolló a finales del siglo XIII en Francia, Italia e Inglaterra y al que se supone un origen literario. Este tema se manifiesta bajo dos formas: el Encuentro-Diálogo de origen francés y el Encuentro- Meditación, italiano.

Salterio de la reina Bona. Luxemburgo.

Ambos se diferencian por aspectos compositivos e ideológicos. El Encuentro- Diálogo se limita a enfrentar a tres señores, caracterizados iconográficamente como tales, con tres cadáveres. El Encuentro- Meditación presta especial importancia al entorno en que se produce el encuentro, el bosque,  añadiendo la figura del eremita que se dirige a los vivos que contemplamos la escena para movernos a la meditación. En sus dos variantes se convertirá en un recurso habitual para la decoración de Libros de Horas, Salterios,...²

Como explica Francesca Español Bertrán en la obra citada, en España menudea el motivo en sus dos variantes. Hay un magnífico ejemplo en Uxue. Se conoce otro en la iglesia de la Encomienda Calatrava de Alcañiz. Aparece en forma escultórica, (circunstancia excepcional en el resto de Europa), en un pequeño capitel de Santa María del Mar de Barcelona, un sepulcro de San Pedro de Fraga y otro de Oñate.

En realidad poco parecen tener en común ambos temas, si miramos más allá de su carácter decididamente macabro. Mientras que el Encuentro tiene su origen en la vieja actitud monacal del contemptus mundi, la Danza Macabra es difícilmente reducible a un simple movimiento de la piedad católica.

Personalmente creo que nació de las manifestaciones espirituales populares manifestadas en el gusto carnavalesco por lo grotesco y, (tal como la interpretamos habitualmente), la necesidad de los estamentos dirigentes de desactivar las consecuencias sociales que se derivarían, inevitablemente, de tan poderoso motivo, tras los sucesivos cataclismos de la Peste Negra. Es lo que intentaré argumentar en los párrafos que seguirán.

Significado y evolución de la Danza Macabra.

La Danza Macabra es la expresión de una sensibilidad ante la muerte. Chaunu³  , siguiendo a Huizinga⁴, distingue tres aspectos diferentes: una reflexión en torno a la muerte como gran niveladora que subraya la igualdad esencial de todos los hombres. Una traducción de una angustia colectiva de una sociedad azotada por un siglo entero de hambres, guerras y pestes y una contestación de la sociedad estamental. Estoy plenamente de acuerdo con esta valoración que, en sí, coloca ya la Danza Macabra en el campo del Carnaval, en el centro de la cultura popular.

Para Chaunu, el lazo entre el auge de lo macabro y la Peste Negra no puede ser descartado. La peste es indisociable de las actitudes de las sociedades bajomedievales ante la muerte. La peste hace de la muerte un fenómeno colectivo que no puede ser integrado en un proceso de individuación, (valga el término junguiano), en el marco de una piedad individual, como es el caso de la incipiente devotio moderna.

La peste añade a la muerte el espectáculo horriblemente fascinante de la descomposición, (que Chaunu, no duda en calificar de obsesión), exacerbadas las imaginaciones por la predicación de las órdenes mendicantes. La atención del hombre bajo- medieval se centra en los momentos más macabros de la transformación del vivo en cadáver, sin permitir que se complete la transmutación que hace del cadáver algo limpio.

No es, por tanto, la del hombre bajo- medieval por lo macabro, (tal como se interpreta habitualmente), una fascinación piadosa e integradora, sino algo plenamente morboso que desencadena el miedo y la desconfianza por la vida. Ya no se exalta "lo eterno" mediante la contraposición con lo perecedero, en la vieja línea de la espiritualidad monástica, sino que el ojo se deleita, para estos autores, en el espectáculo mismo de la podredumbre⁵.

El motivo de la Danza Macabra, además, va evolucionando rápidamente: inicialmente las danzas son conducidas por los muertos, después por la propia Muerte, a la que el Renacimiento Florentino despojará de realismo en su putrescencia estilizándolo en un esqueleto limpio que marca el comienzo del fin del ciclo macabro. No es difícil ver en estas fases estilísticas las consecuencias de la apropiación por parte de la cultura erudita del rito popular.

Para Chaunu la consecuencia será la concentración de la espiritualidad popular en el último instante, en que lo importante es la mediación eficaz de la Iglesia, lo que refuerza la importancia de la figura del sacerdote a costa de la importancia de una vida moralmente perfecta⁶. Así las capellanías se multiplican al mismo ritmo en que aumenta la necesidad de los fieles de sentir onmipresente la figura sacerdotal que puede asegurar su tránsito. Cobra auge el culto de distintos psicopompos, cuya función es, preferentemente, garantizar al fiel los auxilios del instante postrero.

La consecuencia de todo ésto es el establecimiento de una creciente solidaridad entre vivos y muertos  en la intercesión por las ánimas del purgatorio, la proliferación de fratrías. La alienación de las masas.

Así considerada, la Danza Macabra, se reviste de un sentido intrínsecamente negativo, que en modo alguno sirve a la vida. Buscar su origen en la tradición erudita del desprecio del mundo y en las circunstancias excepcionales de un mundo azotado por la Peste Negra, no deja en dicha manifestación ningún resquicio a la vida, a la esperanza.

Veremos, sin embargo, de la mano de Mijail Bajtin⁷, cómo es suficiente con establecer su origen en las manifestaciones grotescas, (antes que macabras), que dan base al sentido carnavalesco de la vida, propio de la cultura popular, para poder interpretarla como una sana manifestación de espiritualidad y vitalidad que será, éso sí, desnaturalizada por los estamentos dirigentes, que la pondrán al servicio del statu quo. 

El origen carnavalesco de la Danza Macabra y su degeneración.

Una Danza Macabra formó parte de los festejos realizados en Zaragoza para celebrar la coronación de Fernando de Antequera en 1414. El cronista la describe: Se revolvieron los cielos, e en medio de la sala salió una nube en la qual venía la Muerte la qual era muy fea llena de calaveras e culebras e galapagos e venía en esta guisa. Un hombre vestido en bladreses amarillos justos al cuerpo que parecía su cuero, e su cabeça era una calavera e un cuero de bladres toda descarnada sin narizes e sin ojos que era muy fea e muy espantosa e con la mano faziendo semejanças, a todas partes que llevava a unos e a otros por la sala (Crónica de Juan II. París. B. N. Ms. esp. 104, fol. 201 rº.)⁸

La Danza Macabra aparece como algo distinto de un mero motivo iconográfico o literario. Es una fiesta. Se trata de una representación, en la que participan todos los asistentes. Que se realiza, además, en el contexto festivo de las celebraciones extraordinarias de la coronación del primer rey de una nueva dinastía. Una ocasión gozosa, de popularidad esperanzada. Algo decididamente carnavalesco.

Quizá los estamentos privilegiados se apropien conscientemente de la Danza Macabra para degradarla o, tal vez, nos hayamos equivocado sistemáticamente al juzgarla por haber dejado caer en el olvido su dimensión popular. Por habernos dejado fascinar por lo macabro olvidando lo grotesco.

Inicialmente sería una fiesta, un carnaval, en palabras de Bajtin⁹ , la vida misma presentada con los elementos característicos del juego en que se ignora toda distinción entre actores y espectadores(...) que también ignora la escena (...) y en la  que los espectadores no asisten al Carnaval, sino que lo viven.,(...) permitiendo que durante cierto tiempo el juego se transforme en vida real.

Este autor incide en la sacralidad esencial de la fiesta popular cuya sanción debe emanar no del mundo de los medios (...) sino del mundo de los objetivos superiores de la existencia humana. En efecto, razona,  las fiestas en todas sus fases históricas han estado ligadas a períodos de crisis, de trastorno (...) La muerte y la resurrección (...) constituyen siempre los aspectos esenciales de la fiesta. Son estos momentos, precisamente, los que crearon el clima típico de la fiesta¹⁰. Estas consideraciones son tanto más interesantes para nosotros en tanto que Bajtin se refiere en estos párrafos a la fiesta en sí misma, y de ningún modo al caso concreto de la Danza Macabra.

Recordábamos arriba, de la mano de Huizinga y Chaunu, que la Muerte aparece en la Danza Macabra como la gran niveladora. Bajtin recuerda que la fiesta se convertía en la forma que adoptaba la segunda vida del pueblo que temporalmente penetraba en el reino utópico de la universalidad, de la libertad, de la igualdad y de la abundancia¹¹,en tanto que las fiestas oficiales no sacaban al pueblo del orden existente, ni eran capaces de crear esta segunda vida. Al contrario, contribuían a consagrar, sancionar y fortificar el régimen vigente.

Bien pudiera ser ésta la naturaleza del proceso mediante el que los estamentos dirigentes degradaron el rito popular de la Danza Macabra para asimilarlo a sus viejas elucubraciones moralizantes. La muerte como niveladora, desde una experiencia integradora, tiene un potencial revolucionario, cuya superación daría necesariamente lugar a un nuevo mundo y no a la consolidación del viejo.

De esta manera lo macabro sustituiría a lo grotesco y la Danza de la Muerte recuperaría los símbolos estamentales de privilegio, ligados a manifestaciones eruditas tradicionales como el Encuentro, que no tienen cabida en el Carnaval sino como subversión de los mismos.

Ya no ayudaría a superar el miedo, sino que contribuiría a perpetuarlo. Condenaría la risa con los medios con que hubiera debido provocarla, en el mejor espíritu del viejo Jorge de Burgos, el malvado personaje de Eco en El nombre de la rosa.

Durante el Carnaval todos ríen, la risa es general; en segundo lugar es universal, contiene todas las cosas y la gente, el mundo entero parece cómico y es percibido y considerado en un aspecto jocoso, en su alegre relativismo; por último esta risa es ambivalente, alegre y llena de alborozo pero al mismo tiempo, burlona y sarcástica, niega y afirma, amortaja y resucita a la vez¹² 

La Danza Macabra reune las características carnavalescas por definición: En el realismo grotesco (...) el principio material y corporal aparece bajo la forma universal de fiesta utópica. Lo cósmico, lo social y lo corporal están ligados indisolublemente en una totalidad viviente e indivisible. Es un conjunto alegre y bienhechor.¹³  El principio material de la putrefacción no es en absoluto distinto en el ámbito del Carnaval de principios como las heces fecales, la orina, o el pedo, carnavalescos por definición. La risa opera la nigredo que transforma la materia confinada bajo la forma del cadáver en nuevo opus nigrum sublimando la putrescencia y liberando del miedo a ésta.

El propio Bajtin apunta ya estas conclusiones cuando afirma: recordemos que en el grotesco de la Edad Media y el Renacimiento hay elementos cómicos incluso en la imagen de la Muerte (en el campo pictórico, por ejemplo, en las Danzas Macabras de Holbein o Durero) (...) El tema de la muerte concebida como renovación, la superposición de la muerte y el renaciomiento y las imágenes de muertos alegres cumplen un papel fundamental en el sistema de imágenes de Rabelais (...) En el realismo grotesco y folklórico de calidad (...) no existe el cadáver (...) la vejez esta encinta, la muerte está embarazada, todo lo limitado, característico, fijo y perfecto, es arrojado al fondo de lo inferior corporal donde es refundido para nacer de nuevo. Pero durante la degeneración y disgregación del realismo grotesco, el polo positivo desaparece (...) y sólo queda un cadáver...¹⁴  .

El séptimo sello. Hay que verla.

En un próximo artículo daré un vistazo a algunos de los aspectos que apenas he rozado en esta exposición. De momento no puedo resistirme a recomendar a un posible lector dos libros que aparentemente guardan poca relación con el tema: El nombre de la rosa, de Umberto Eco y Papá Puerco de Terry Pratchett, que ya han sido citados en este blog con anterioridad.

notes

¹ CHAUNU, P., Le Temps des Reformes. La crise de la Chrétienté 1250- 1550., Editions Complexe, 1971. pág. 189.
² Vid. Español Bertrán, F., Op. Cit. 17 y ss.
³ Op. cit. pág. 181.
⁴ HUIZINGA, J., El otoño de la Edad Media., Alianza, 2001.
⁵ "La imaginación se complace en esos horrores sin hacer un esfuerzo más para contemplar la podredumbre convirtiéndose en tierra para dar flores" , Huizinga., Op. Cit.,
⁶ TOUSSAERT, J., Le sentiment réligieux en Fladres à la fin du Moyen Âge, Paris, 1963.
⁷ BAJTIN, M., La Cutura Popular en la Edad Media y en el Renacimiento. El contexto de François Rabelais., Alianza., 1987.
⁸ Español Bertrán, F. Op. Cit.
⁹ BAJTIN, M., OP. Cit., pág. 12-13.
¹⁰ BAJTIN, M., Op. cit., 14.
¹¹ Ibid.
¹² Ibid. Pág. 17
¹³ BAJTIN, M., Op. cit. 23
¹⁴ BAJTIN, M., Op. Cit. 51-53