El oscilador armónico:

Ciencias y Letras:


(Gracias a Física y química Chaparil por este vídeo)

El hombre, servidor e intérprete de la naturaleza, ni obra ni comprende más que en proporción de sus descubrimientos experimentales y racionales sobre las leyes de esta naturaleza; fuera de ahí, nada sabe ni nada puede. F. Bacon., Novum organum.


Son grandes mentes -se dijo Teppic-. Estos hombres intentan averiguar cómo funciona el mundo no mediante la magia o la religión, sino metiendo su cerebro en la primera grieta que encuentran y usándolo como palanca para separar los bordes. T. Pratchett., Pirómides.

Es fascinante comprobar cómo las nociones más abstractas se revelan en los fenómenos más cotidianos. La física triunfa donde la alquimia fracasó. Transforma los objetos en símbolos, opera con éstos y los transforma en nuevos símbolos con pleno significado físico. Los fenómenos son descritos por magnitudes que expresan mediante números sus accidentes. Los números se relacionan mediante operaciones matemáticas  y producen nuevos números capaces de completar la caracterización del observable.

Esta manera de ver el mundo significó para Occidente la ruptura del Árbol del Conocimiento en esas dos grandes ramas que Eco caracterizó magistralmente a través de los labios de Guillermo de Baskerville en El nombre de la rosa: la de la nueva ciencia en ciernes:

Fíjate que no hablo de cosas, sino de proposiciones sobre las cosas. La ciencia se ocupa de las proposiciones y de sus términos, y los términos indican cosas iguales. (...). Tengo que creer que mi proposición funciona porque así me lo ha mostrado la experiencia, pero para creerlo tendría que suponer la existencia de unas leyes universales de las que, sin embargo, no puedo hablar..."

Y la de la vieja filosofía:

Cuando cogemos un libro, no debemos preguntarnos qué dice, sino qué quiere decir, como vieron muy bien los viejos comentadores de las escrituras. Tal como lo describen estos libros, el unicornio contiene una verdad moral, alegórica o anagógica, que sigue siendo verdadera, como lo sigue siendo la idea de que la castidad es una noble virtud. Pero en cuanto a la verdad literal, (...), queda por ver de qué dato de experiencia  originaria deriva aquella letra. 

Los objetos del pensamiento y las formalizaciones lógicas con que los relacionamos configuran completamente el pensamiento y éste transforma al pensante. Las matemáticas son, hasta la fecha, el único lenguaje formal capaz de encaminar correctamente el pensamiento humano por los senderos del mundo físico. Pero... ¿Qué hay del mundo interior del pensante?... La gran contribución de la ciencia a este respecto es una ideología basada en sus pretendidas posibilidades. Calma el desasosiego, de momento, aunque no sepamos realmente si se trata de una medicina o de un placebo.

Estos días ando repasando viejos textos, (el Alonso - Finn, viejo conocido de todo estudiante, Classical Mechanics de Kibble y Berkshire y Vibraciones y Ondas, de French), aprovechando los posos de esa vieja sabiduría que queda cuando ya se ha olvidado todo lo que se podía olvidar, y no puedo menos que decir jubiloso con Adso de Melk -¡O sea que hay un orden en el mundo!- y reflexionar esperanzado con Guillermo de Baskerville -¡O sea que hay un poco de orden en mi pobre cabeza!-

El Cosmos contenido en el humilde oscilador armónico: (Kibble, T. W.B y Berkshire, F.H., Classical Mechanics.,ICP, 2004).

Una partícula en equilibrio en un campo conservativo se caracteriza porque la derivada de su función potencial es cero en la posición de la partícula. Consideraremos el movimiento de una partícula cerca de una posición de equilibrio. Supondremos que el punto de equilibrio está precisamente en x = 0 y escogeremos la constante arbitraria en V de tal manera que V(0) = 0. Para pequeños desplazamientos podemos expresar V(x) como un desarrollo de Taylor:

, , 

La curva de potencial es en este caso una parábola, de tal forma que

existen dos puntos 

donde 

 El movimiento descrito es una oscilación entre esos dos puntos a y -a. Por la definición de la función potencial V(x):

Donde F(x) es la fuerza que corresponde a la energía potencial V(x). 

 que será la ecuación del movimiento

El problema se reduce a resolver esta ecuación diferencial lineal. Sabemos que estas ecuaciones satisfacen el principio de superposición, o sea, que si:

son soluciones, también lo será cualquier combinación lineal de estas soluciones: 

De donde

Supongamos k > 0, (V tiene un mínimo en x = 0), en este caso la función de potencial es la de un oscilador armónico simple:

son soluciones de la ecuación:

QED

Por tanto, la solución general será:

Si cuando t = 0, la partícula está en x(0) con velocidad v(0) podemos deducir con facilidad el significado físico de las constantes c y d:

La solución, en cambio, suele presentarse de la forma:

 donde

  es la frecuencia angular del movimiento y es la fase inicial. 

Por tanto, el movimiento está confinado a los valores entre x = A y x = -A.  (A es denominado "amplitud del movimiento") y es ciclico con un período T igual al tiempo transcurrido entre dos momentos sucesivos de iguales desplazamiento x y velocidad, o sea:

Tenemos descrita la cinemática, y la dinámica, del oscilador armónico partiendo del mismísimo Principio de Conservación de la Energía. ¿Esperanzador?

Bibliografía:

Kibble, Tom W.B y Berkshire, Frank H., Classical Mechanics., Imperial Collegue Press, 2004.
French, A.P., Vibraciones y ondas, Ed. Reverté, 1974.
Eco, U., El nombre de la Rosa., Ed. Círculo de Lectores,1985.
Bacon, F., Novum organum.,RBA, 1984
Pratchett, T., Pirómides., Plaza y Janés, 1990.