De cómo encaminar las aguas

El "abc" de la ingeniería consiste en diseñar obras funcionales que, además, sigan la "lógica del agua", bien para aprovecharla, bien para expulsarla impidiendo que dañe las estructuras. 

Cristóbal de Rojas [1] aborda el problema del encaminamiento de las aguas de manera práctica mediante la descripción de la fabricación y uso de un nivel tipo "A", (que aún son usados hoy en día), y una serie de consideraciones de orden práctico. Falta un siglo para que estudiosos como Bernoulli comiencen la tarea de modelar matemáticamente el comportamiento de las aguas. Con todo hoy en día aún nos maravillamos de la perfección de aquellas obras hidráulicas que se hicieron mediante la aplicación de unos pocos principios prácticos y la consideración de unas medidas realizadas con instrumentos que casi podríamos denominar "de fortuna".

Al  Señor Bachiller Don Juan Pérez, que Dios vos guarde, en Madrid:

Hace ya algunos meses que senté plaza como soldado en los tercios de Su Alteza, Nuestro Señor el Rey, y recuerdo cada día vuestros consejos y advertencia continos acerca de las utilidades que la theórica que nos impartíais encontraría en la prática del oficio de las armas que todos apetecíamos. 

Y así, en el espíritu de franca camaradería que siempre reina junto a las tiendas del barrachel, recordábamos el otro día Pero Antillón, -que vos manda saludos-, y yo, aquellas tardes agotadoras en que nos hacíais pasear la "A" desde Calatayud por hasta el Cerro Bámbola pora apreciar el arte con que los romanos construyeron los aljibes, y castella acquae y las conducciones de Bílbilis, en la erudita consideración de quel número es el alma de la ingeniería.

Y nos os digo yo que no sea tal el caso en tierras tan cristianas como la nuestra donde Dios nuestro señor ya ha dado en separar la tierra de las aguas, como dicen las Sagradas Escrituras, pero, os aseguro, no es tal el caso en esta tierra de herejes donde una y otra se presentan bajo la forma única de barro, del que parecen, además, constituirse cada día nuevos enemigos.

Que no hay número que logre separar las tierras de las aguas en este país, conforme sería nuestro gusto y sabor, como no sea el de la Santa Trinidad, (o quizá, aquél de la sección aúrea, tan lleno de virtudes, que quedó desgraciadamente sin ser puntualmente explicado en vuestras clases), que ni el agua sabe por do quiere ir y ni si en un punto concreto ha cumplido llegando al mar.

Y así teniendo los pies en el agua, sufrimos de sed agobiados por las fiebres mientras recordamos aquellos ardientes mediodías de Calatayud en que sufrir los trabajos tenía, al menos, la recompensa del agua pura y fresca de una fuente obediente al número.

 Quedad con Dios.

Juanico de la Torre 

Construcción y calibrado de un nivel para encaminar las aguas según Cristóbal de Rojas. Op. Cit.

Capítulo XXIIII. De la fábrica y distribución de un nivel para encaminar las aguas.[1]

Después que el Ingeniero sepa todas las partes y requisitos dichos, será muy necesario que también sepa encaminar las aguas al castillo o fortaleza que hubiere hecho, encaminándola por alguna cañería de barro o por alguna atalxea de ladrillo y cal. Y para ésto es muy necesario saber la fábrica y distribución de un nivel para pesar y nivelar el camino o distancia que hubiere desde el nacimiento del agua hasta el punto y fuente que se hará en el tal castillo.

Lo primero se ha de hacer un nivel que tenga 20 pies de hueco de una punta a otra y 10 pies de alto, para lo cual es muy necesario poner este ejemplo.

Conforme al pitipié [2] que parece junto al nivel que se luego se sigue de por sí hágase un círculo que tenga de diámetro 20 pies y dentro de él se hará el triángulo ABC. el cual triángulo es el hueco del nivel porque la línea AB. y la AC: son las dos piernas de él, y el diámetro BC. es su hueco y el perpendículo es AF. y para repartir las corrientes [3] o subidas se repartirán en la primera o traviesa que tiene el nivel como muestra la DE. el cual repartimiento se hará en esta forma, suponiendo que se han de repartir 10 pies de corriente en el dicho nivel, y la mesma regla sirve para más o menos corriente.

Y supuesto que no quiero más de 10 pies, dividiré el semidiámetro FG. en 10. pies conforme al pitipié y puesto el compás en el punto G. tírense todas las diez partes que muestran GH. y desde los tocamientos de la circunferencia de la GH. se tirarán líneas rectas al punto A. y éstas pasarán dividiendo la pierna del nivel como muestra la DE. y hecho el repartimiento de la parte de la D. en la mesma forma se hará de la parte de la E., y luego cada uno de estos pies se dividirá en diez partes o en las que más quisieren, conforme lo muestra la HA. y por la mesma orden se repartirán todos los demás pies, todo lo cual se muestra bien en la dicha planta.

Y teniendo fabricado y repartido el nivel, como lo muestra la letra R. se dará principio a nivelar la campaña y camino por donde ha de ir la dicha agua teniendo por máxima principal de que los manaderos de donde naciere el agua nunca sean ahogados ni detenidos con ninguna reflexión que hiciere la cañería [4], y para ésto se tendrá cuidado de nivelar muy precisamente desde el nacimiento del agua hasta la fuente donde ha de servir, usando del dicho nivel por una de dos formas.

La primera, echar una línea recta en un papel considerando que aquella línea servirá de la línea imaginada a nivel y comenzando a poner la primera nivelada y ver si corre el perpendículo medio pie o uno hacia abajo, entonces se pondrá aquella cantidad por numero debajo de la línea, y luego mudar más adelante el nivel y si corriere el perpendículo hacia atrás es señal que va cuesta arriba entonces aquella cantidad se pondrá encima de la línea del papel, y por esta orden se caminará considerando siempre a cada nivelada lo que corre debajo de la línea o encima, para irlo poniendo siempre por memoria en el papel y llegado al fin del camino se hará la cuenta restando las partidas que hubiere encima de la línea de las que está debajo, y supongo que se hallaron 20 pies de altura sobre la linea y 30 de corriente debajo della, digo que restando los 20 pies de los treinta quedarán 10 pies y éstos hay de corriente en todo el camino que se ha nivelado.

La segunda regla es menos embarazosa y más fácil porque no es necesario papel ni tinta, y es que encima de la pierna del nivel estarán hechos unos agujerillos en derecho de cada línea y comenzando la primera nivelada donde cayere el perpendículo se pondrá allí en el agujerillo que tocare un alfiler y como fuere echando niveladas irá poniendo el alfiler en la parte que señalare el perpendículo, ésto se entiende, a la una parte de la corriente, y cuando el perpendículo caiga a la parte que el nivel sube para arriba, se pondrá allí otro alfiler, de forma que habiendo llegado al fin de la nivelación se hará la cuenta de cuántos agujeros tiene más un alfiler que el otro, y por allí se conocerá la corriente.

Y sabido ésto se repartirá en el camino en cada 500 pasos una arca o descanso donde se recoja el agua dando de una arca a otra la corriente repartida respeto de toda la corriente principal [5]. 

Y así mismo de una arca a otra se harán cauchiles que se entiende un barreñón o librillo que haga de dos arrobas de agua y habrá de distancia de un cauchil a otro 100 pasos los cuales sirven para hallar la quiebra que hubiere en algún tiempo en la cañería, porque en hallando falta de agua en un arca y en las demás adelante hacia el nacimiento estando cabal, se entiende estar la quiebra en aquel tramo de entre aquellas dos arcas, y luego por los cauchiles verán dónde está la quiebra y desta suerte se hallará sin desenvolver la fábrica.

Y si en el camino se ofreciere algún cerro o montaña, se pasará con una mina por debajo haciendo un cañón de bóveda de ladrillo o de piedra, y si se ofreciere algún arroyo o río, se harán alcantarillas o puentes conforme el sitio lo pidiere guardando en todo la buena práctica que se ha de tener en hacer el zulaque, para juntar los caños, hecho de cal viva y aceite y estopa bien picada y muy majada y maceada con pisones, que por no detenerme más me remito en lo que falta al curioso artífice.

[1] Rojas, Cristóbal de., Teórica y práctica de fortificación conforme las medidas y defensas destos tiempos, repartida en tres partes., 1598., Cap. XXIIII.
[2] Escala.
[3] Utiliza el término "corrientes" en el sentido de "diferencia de cotas". Aún no se ha elaborado, ni siquiera, un lenguaje técnico suficientemente abstracto.
[4] Intuición de la pérdida de carga.
[5] Aquí, al introducir la longitud, se habla ya de "pendiente", aunque la longitud no se proyecta sobre el plano, sino que se trata de la distancia topográfica.

Ingeniería militar en los tercios españoles. Estimación de alturas remotas

"Las escalas (...) han de ser de altura de sólo las murallas: porque si son mayores, es fácil a los de arriba, asiendo de los palos que sobran, echarlas en tierra con los que están en ellas, y si menores, no se puede subir por ellas a lo alto. El medir esto ha de ser con mucho cuidado a causa del haberse perdido tierras por ser cortas las escalas, habiendo tomado la medida según el altura de la muralla, y no desde la parte de tierra donde se habían de afirmar" Bernardino de Medoza., Teórica y práctica de la guerra escrita al Príncipe Don Felipe Nuestro Señor

Ilustración del Tratado de geometría práctica y especulativa

de Juan Pérez de Moya (1573)

No es poca cosa, Señor, la que abunda en menoscabo del esfuerzo y las vidas de vuestros soldados desde que Vuestra Excelencia ha dado en aconsejarse de libros y bachilleres en las cosas de la guerra.

 De acuerdo con vuestras instrucciones fueron preparadas las escalas para asaltar el reducto de los herejes con las alturas que se deducían, -con dos palos-, de la infalibilidad 'del tercero y el séptimo del segundo de Euclides', -o algo así-,  sin que se nos autorizara a realizar una encamisada que permitiera medir con varas, como es costumbre, la altura de las murallas que habíamos de asaltar en pocos días.

Que se murmuró en nuestro campamento como fue castigado por Vuestra Excelencia es bien cierto, que bien patente quedó muy pronto que vuestro ingeniero medía la misma cosa en cantidades diferentes a cada momento, contra la experiencia que hace de una muralla cosa firme y poco inclinada a crecer y decrecer  sin previo aviso.

Y es bien cierto quel tal ingeniero, al ser requerido sobre los fundamentos de sus trabajos a algunos cientos de varas castellanas del pie de las murallas, -que era maravilla de todos verle allí, sin acercarse-, nos explicó, -y aún nos mostró en un libro-,  lo que más arriba dije a Vuestra Excelencia, aparte de dos varas de medir con que, también es cierto, algunos dimos en medirle sus costillas.

Y así varios de vuestros soldados dimos en caer carne de barrachel no por amotinarnos a causa de la soldada que se nos debe, sino maravilla de maravillas, por creer en la experiencia del oficio más que en todas las geometrías. Que fiado de vuestros ingenieros, nos mandasteis a los unos a la soga y al resto a las balas y piedras de los herejes, ante cuyos muros quedaron escasas las escalas en que fiaban su acometida. 

De esta manera queda vuestra compañía sóla de aventajados y bien nutrida de plazas muertas. La muerte es para nosotros, la vergüenza, toda vuestra.

Martín de Villamayor.

El texto a que se refiere el pobre Martín (personaje no por ficticio menos verdadero) es el artículo IIII del capítulo VI del Tratado de Geometría Práctica y Especulativa del Bachiller Juan Pérez de Moya, que explica:

Toma dos varas la una mayor que la otra la cantidad que quisieres, y esta mayoría o exceso divídelo en doce partes iguales, y cada una vara tenga su punta para que en el suelo se puedan hincar con facilidad. 

Y la menor, por que el que mide no se abaje, puede ser tan alta como hasta los ojos del Geómetra. Luego en un llano en la distancia (apartado de la altura que midieres) que te paresciere, hinca la mayor tan derechamente que haga ángulos rectos con el suelo, y luego más apartado del altura por linea recta, hinca la menor de modo que la mayor esté entre la menor y la altura que se mide, y tan distante pondrás esta menor de la mayor, que por los extremos altos de ambas veas, o eches una linea visual hasta lo mas alto de la cosa que midieres, como muestra la linea e.f.b. de la figura. 

Luego mira la distancia que hubiere de la una vara a la otra cuántas partes son semejantes a las 12 en que se dividió el exceso que hacía la vara mayor a la menor que será saber lo que hay desde el punto h. donde está la vara mayor al punto d. donde esta la otra, y supongo que sea tanto como las 15 partes, de los cuales entenderás que la proporción que hubiere destos 15 con 12, la misma habrá de espacio que hubiere desde la vara menor hasta el altura por linea recta, con la misma altura, la cual distancia supongo ser 20 pasos; mira la proporción que hay de 12 a 15 que la misma habrá del altura a estos 20 pasos lo cual para saber lo que será ordenarás una regla de tres diciendo: si 15 dan 12, ¿qué darán 20?. Multiplica 12 por 20 (como manda la regla de tres) y parte lo que saliere por 15, y lo que viniere a la partición (que son 16) será el altura de la torre. 

Quiero decir, lo que habrá desde el punto correspondiente al altura de la menor vara hasta lo más alto de la torre, que será lo que hay desde el punto c. al punto b. y la proporción que hay de quince a doce es la misma que la que hay de veinte a 16 y al contrario la razón de ésta es la misma que la que se dijo en el articulo precendente, porque estas dos varas la mayor sirve por la regla status, y la menor por la regla móvil y así como de la regla móvil se sacan cantidades por el agujero do está puesta, estas cantidades se toman con el apartamiento que hay de entre la vara menor y la mayor, y así el trinagulito pequeño e.g.f. y el e.c.b. son equiángulos y por el consiguiente los lados serán proporcionales, como se prueba por la 29 del I y cuarta del 6. de Euclides muchas veces citadas. 

Y por esta razón la proporción que viniere del lado e.g. al lado g.f. que incluyen el ángulo recto e.g.f. del triángulo pequeño e.f.g. la misma habrá del lado e.c. al lado c.b. que son lados que incluyen el ángulo recto e.c.b. del triángulo grande c.b.e. y así como es mayor el lado e.g. que el lado g.f. así es mayor el lado e.c. que es el espacio que hay de la vara menor hasta la torre que el lado c.b. que es el altura, la cual habemos sabido ser 16 pasos, a lo cual juntarás lo que hubiere desde el punto c. al punto a. que es igual al altura de la vara menor e.d. y todo junto será el altura a.b. de la torre.

Espero que este video pueda aclarar el proceso descrito que es en realidad muy sencillo:

Los problemas planteados en los momentos en que los fundamentos teóricos de una disciplina están muy por delante de las tecnologías que podrían conferirles un carácter "práctico", pero cuya necesidad ya es socialmente reconocida, no son baladíes. Un problema de ingeniería debería plantearse siempre sobre la base de unas necesidades, medios y condicionantes concretos. 

Aquellos primeros ingenieros militares fueron seguramente los primeros dignos de ese título. Los primeros en negarse a sorprenderse cada vez que la naturaleza se niega a ser platónica.

Aquí se puede ver un applet explicando el proceso. Si se hace doble click sobre éste se abrirá en una pantalla que podréis maximizar para poder jugar con él.

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Tercios españoles: instrumentos de medición: ¿cuadrante para medir distancias remotas?

Como pudimos ver en un artículo anterior los geómetras del siglo XVI desarrollaron algunos instrumentos para estimar distancias de manera indirecta, aunque los prácticos aprendieron rápidamente a desconfiar de ellos.

En este texto examinaremos el cuadrante geométrico que se basa, también, en las propiedades de los triángulos rectángulos, (en este caso del establecimiento de dos triángulos semejantes). Se trata de un instrumento mucho más elaborado y preciso que la escuadra, que simplifica y afina significativamente la medición de la magnitud requerida para conocer la distancia incógnita.

Cuadrante geométrico: Juan Pérez de Moya., Tratado de geometría práctica y especulativa.

El cuadrante consiste en un cuadrado en cuyo vértice C se dispone una varilla giratoria portadora de sendas pínulas para lanzar visuales. Sobre los lados A.D. y D.F. se preparan sendas reglas graduadas en 12 segmentos. 

Si queremos medir la distancia a.b. del gráfico que mostramos abajo,  dispondremos el cuadrante con el vértice a. en el lugar desde donde queremos medir y colimaremos el punto b. , cuya distancia al anterior queremos conocer, mediante una visual a partir de la varilla móvil con el concurso de las pínulas. Mediremos sobre el lado d.f. la división en que intersecta la varilla dicho lado del cuadrante.

Uso del cuadrante geométrico: Juan Pérez de Moya., Tratado de geometría práctica y especulativa.

Sea e. el punto de intersección citado. Como podemos comprobar los ángulos d.c.e. y a.b.c. son iguales y determinan dos triángulos semejantes. Establecido esto podemos deducir fácilmente una regla para  deducir la distancia a.b.

Es decir: la distancia a.b. que queremos medir será el cuadrado del lado del cuadrante partido por la distancia intersectada sobre d.f. por la visual c.b., fórmula idéntica a la que utilizamos para la escuadra.

Supongamos que utilizamos un cuadrante de 1.5 m de lado y graduado en cm en el mismo supuesto que utilizamos para la escuadra. Si visamos un punto b. situado a 45 m. de a. la distancia que mediremos sobre el instrumento sería teóricamente, como en el caso de la escuadra, de 0.05 m., en todo caso, más fáciles de medir con cierta precisión que en el caso de aquella.

La propagación del error en la distancia a medir que cometemos en función de la distancia medida sigue por tanto la misma regla que examinamos en el caso de la escuadra:

Para cada caso tendremos una error idéntico al que encontramos para la escuadra, aunque es justo considerar que la precisión de nuestra medida en el caso de la escuadra ha sido ciertamente exagerada y que, en el caso de cuadrante, con un instrumento bien construido, podríamos afinar mucho más allá del centímetro. Si suponemos una precisión de 1 mm tendríamos:

Que sigue siendo un error más que apreciable, y eso, en condiciones "de laboratorio". Si pensamos en las condiciones de trabajo de unos instrumentos artesanales, (con sus reglas graduadas en 12 partes, además, y no en mm), podemos estar seguros de que la precisión que debemos suponerles es mucho menor.

Aún presentaré algún instrumento más, pero, dado que se basan en su mayor parte en idénticos principios, proporcionan precisiones similares, siendo la única diferencia entre unos y otros la facilidad con que se puede establecer la medida directa de que se deriva la distancia a conocer. Como afirma Pérez de Moya en su obra:

Nota el modo desta demonstracion porque en este genero de medida con qualquiera instrumento que se mida se han de causar estos triangulos y en todos se ha de demonstrar por estas razones, porque no sea necessario repetir muchas vezes vnos mismos preceptos, que es enojoso a los estudiosos.

Pérez de Moya, Juan., Tratado de Geometria practica y speculatiua., Alcalá.,1573., Lib. II. Cap. V. Art. Primero.

Se trata en estos casos, como iremos viendo, de máquinas filosóficas más que de instrumentos de medida propiamente dichos. Como recuerda el Guillermo de Baskerville imaginado por Eco en El nombre de la rosa:

"Ignoro a qué pueda deberse, pero nunca he visto una máquina que, perfecta en la descripción de los filósofos, resulte igual de perfecta en su funcionamiento mecánico. En cambio, la hoz del campesino, que jamás ha descrito filósofo alguno, funciona como corresponde.

Ya vimos en un artículo anterior cómo el Maestre Don Cristobal de Rojas mostraba una forma de poner en buena práctica el principio geométrico que rige el uso del cuadrante geométrico mediante el replanteo sobre el terreno de uno de grandes dimensiones. Se trata del único método para medir distancias remotas al que atribuye fiabilidad, si bien descansa sobre la medida directa de distancias más o menos grandes con el concurso de la tradicional cuerda.

No tardará mucho la incipiente ingeniería en dotarse de verdaderos instrumentos y sobre todo de métodos capaces de asegurar una precisión mínima al trabajo de campo. A ellos dedicaré uno de los próximos artículos.

Tercios españoles: instrumentos de medición: ¿escuadra para medir distancias remotas?

Ya presenté en un artículo anterior el instrumento-método topográfico más preciso con que podían contar los ingenieros del siglo XVI, en este vamos a echarle un vistazo a la escuadra como instrumento para medir distancias de manera "remota".

Aquí podemos ver un gráfico detallado de la escuadra y su uso. El principio geométrico en que parece basarse su funcionamiento es la caracterización de la altura de un triángulo rectángulo como media proporcional de los segmentos que determina sobre la base de dicho triángulo.

El instrumento consiste en una escuadra apoyada por el vértice que contiene su ángulo recto C en una vara de longitud fija aC y provista de una mira en su lado más largo. Apuntando el lado largo al punto cuya distancia se pretende medir desde a,  girando la escuadra sobre C, el observador construye un triángulo rectángulo cuya altura aC es conocida y que determina dos segmentos de los que dicha altura es media proporcional, el menor de los cuales, da, puede medir. Conocidos esos dos datos el cálculo de la distancia es inmediato.

Sin embargo, el mismo principio en que se basa este instrumento limita fuertemente su alcance, y es que, aún suponiendo las mejores condiciones, (como la colinealidad del punto de colimación, el apoyo de la vara y el que delimita el triángulo rectángulo), la distancia máxima que es capaz de medir depende precisamente de la altura de la vara aC. Si suponemos aC = 1.50 m y hacemos d = 0.05m, sin entrar a valorar, de momento, los errores introducidos al medir dicha distancia, tendremos que D = 45 m, distancia que no es difícil de medir por procedimientos directos, como una cuerda,  con error mucho menor.

Supongamos un error cometido en la medida x = 0.05 m de tan sólo 0.01 m, h = 1.5 m. ( x = d; h = aC).

Medir una distancia de 45 m. con un error de 9 m. no resulta útil. 

Tal vez se trate de uno de esos instrumentos teóricamente maravillosos que jamás fueron utilizados en el campo, como se quejaba el Maestre don Cristóbal de Rojas, Cap. XXII "Que enseña a medir distancias".

"En esta materia de medir distancias ay grandes disputas entre los teoricos, y praticos, que los teoricos piensan, que como miden en vn papel, ô en vna tabla vna distancia, que assi les ha de suceder en la campaña, y se engañan en mucho, como ya tengo desengañado à alguno, que sobre vna mesa no avia quien se pudiera valer con el, y trayendo grandes especulaciones y demostraciones, y sacandole al campo, adonde yo le avia pedido, que pusiesse por la obra todo lo que me auia dicho, y quebrado la cabeça, en aquel punto se le fue toda la ciencia a los pies, y no supo dar cuenta de la medida porque en 800 passos, erro los 500. por lo qual se desengaño, y de alli adelante començo à exercitarse en la esperiencia..."

Tercios españoles: del arte de la guerra a la ciencia de la guerra. Medios y dificultades.

Introducción.

Comencé esta serie de artículos con una curiosidad geométrica, descubierta por Tartaglia, que recoge Rojas en un capítulo de su obra.  El hecho de que Rojas se haga eco de un desarrollo matemático al que, no obstante, no encuentra uso directo en el objeto declarado de su libro, nos lo muestra como un hombre preocupado por los avances de las matemáticas. 

Que tal solución, en exceso complicada, sirva únicamente para construir las reglas y calibres de que se dotan los artilleros para resolver el problema en la práctica, demuestra que ya no se siente como suficiente el uso de reglas, a modo de trucos, sancionadas por el uso y la costumbre, sino que, además, el ingeniero quiere saber qué hay detrás. En un tiempo en que las necesidades de precisión van mucho más allá de las exigencias de tiempos pretéritos y en el que los instrumentos necesarios son artesanales ésto es de la mayor importancia.

 Se ha establecido de hecho ese diálogo permanente entre los desarrollos teóricos y las necesidades prácticas que el Renacimiento acuñó como "progreso".

En este segundo artículo aspiro a plantear en líneas generales el problema a que se enfrenta el ingeniero militar de finales del siglo XVI en los términos en que Rojas lo expone en su obra.

Pero López de Turriellas. Práctico.

<<Déjenme que me presente a vuesas mercedes. Mi gracia es Pero López de Turriellas, tengo cincuenta y cinco años y sirvo desde los trece en los Tercios de Su Majestad. Muchos oficios he tenido a tal servicio, que cuando apenas apuntaba el bozo ya sabía yo lo que es forrajear en campo enemigo, y antes aún de que mi señor y Capitán Don Cristobal de Rojas reparase en mi persona y me tomase como práctico, cultivé a mayor Gloria de Nuestro Señor Jesucristo y de las Armas de Su Majestad, las artes de la pica, la espada y el mosquete, que cuanto hoy sé lo aprendí entre encamisada y encamisada, y antes de Marte que de las Musas.

Dice a menudo mi Señor Don Cristobal que tres cosas tiene que saber el ingeniero (1): la primera, mucha parte de Matemáticas tal y como las contó el griego Euclides, la segunda la Aritmética, que sirve para saber el gasto de la fábrica y para su construcción con sus distancias y proporciones, y la tercera saber reconocer la posición, que es la que más cuadra al oficio de soldado.

Tal soy yo que he alcanzado, a decir de Don Cristobal, la inteligencia mecánica de estas artes como para saber medir, que es primera cosa y principal para el ingeniero. Y no se me ocultan tampoco las virtudes y los vicios de los sitios, para su defensa o para ofenderlos, que muchas son las fábricas cuyo orgullo he sostenido o humillado junto a mis camaradas a despecho de los números de los ingenieros de los herejes.

Y así conozco los triángulos, y las figuras cuadriláteras y las trapecias, y la regla de tres y los quebrados y la raíz cuadrada que son como el alma de las fábricas y disponen sus partes y proporciones. Y es esta alma de tal condición que anima nuestras fortificaciones igual que animaron las de los antiguos que ya no nos sirven en este tiempo conforme al arte militar presente, (que parece maravilla), y que sirve lo mismo a los propósitos de levantar la fábrica para estorbar al enemigo que para conocer los estorbos con que el enemigo confía desbaratar el valor de nuestros soldados.

Y no puede el práctico cojear de ninguna desas artes que las unas van en auxilio de las otras y, sobre todo a la hora de medir las superfices de las figuras, llega la Geometría donde le faltan números a la Aritmética, que son las superficies problemas de cuadrados y raíces y son muchas las veces que aparecen bajo la forma de números sordos, y que es mejor sacar enteros por la longitud de la línea, que es cosa de maravilla y quiero explicar aquí a vuesas mercedes.

Que si quiero yo saber el lado del cuadrado que tiene una superficie dada para plantar los reales, por ejemplo, de Nuestro Señor el Rey Don Felipe y que quepan dos compañías, tendré que sacar la raíz del número de la superficie y es suerte si sale entero, y si quebrado no saldrá exacto y por éso, porque es menester en cosas del ejército disponerlo todo con ciencia exacta, será mejor medir la linea del cuadrado como enseña la Geometría, que es exacta.

Y digo que si quiero saber qué lado tengo que ponerle a un cuadrado para que haga 67 estadales de superficie porque sea menester la tal medida, calcularé la raíz de 67 y buscaré número que multiplicado en si se allegue lo mas que ser pudiere al 67 el cual será el 8, porque el nueve multiplicado en sí ya es mayor que el 67, y ocho veces ocho son sesenta y cuatro que si los resto de 67 quedan 3 que los pongo sobre una raya por nominador y debajo, por denominador, la raíz duplicada y una más, que serán 17 que parecera así diciendo derechamente que la raíz cuadrada de 67 son 8 y 3/17 avos que es número sordo.

Por éso tomaré un rectangulo de lados tales que valga 67 estadales y que es de 67 estadales de un lado y de un estadal del otro porque no hay otro número sino el uno que divida al dicho 67. Y haré dos líneas A.B. y C.D. de un estadal la una y de 67 la otra como quedó dicho, la una a continuación de la otra y es cosa que se hace con la regla y el compás.

Y tendré la linea A.D que medirá 68 estadales, como es dicho, y sacaré su centro, que cosa es sencilla que se hace con las dichas regla y compás, y meteré esta línea debajo de un medio círculo poniendo el compás en la mitad de la línea y donde comenzaba la linea C.D. que es punto D. se levantará una perpendicular que toque el círculo que es la línea D.O. y será el lado del cuadrado que tiene 67 estadales de superficie, porque la dicha D.O. es media proporcional y todas tres líneas lo son, y es ésta regla maravillosa que permite también apreciar distancias con buen juicio sin tener que medirlas con la cuerda de estadales, que ya les mostraré a vuestras mercedes en otra ocasión. Y será la línea exacta más que puede serlo el número que nos dice la Aritmética y con esta razón se sacará la raíz cuadrada de cualquier número sordo o irracional.Y va así la Geometría al auxilio de la Aritmética.

Dicen los sabios que con estas razones y otras no hay fábrica que pueda tener defecto, salvo error de maestría del ingeniero y del práctico, y no es tal, que, en esta materia de medir distancias, hay grandes disputas entre los teóricos y los prácticos, que como dice mi capitán Don Cristobal piensan que como miden en un papel o en una tabla una distancia que así les ha de suceder en la campaña y se engañan en mucho, que hay que ejercitarse en las artes de la experiencia.

Y la causa de todo este engaño es porque siendo la distancia que se ha de medir de algunos mil o dos mil pasos y el instrumento no mayor que de un pie cuadrado, viene a ser una pequeña falta del instrumento muy grande en la distancia y ésto sucede a la letra en las máquinas o ingenios que en los modelos parecen muy verdaderos y al hacerlos grandes salen muy pesados y diferentes de lo que prometían en pequeños, porque son como las barrenas de los carpinteros que con una barrena chica se hace con poco trabajo un agujero aun madero y si quieren hacer un agujero que tuviese un palmo de diámetro y se hiciese una barrena tan grande que tomase todo el agujero al tiempo de torcer para ir barrenando no será posible porque o faltará la fuerza o se romperá el madero. (2)

Y así es opinión de Don Cristobal que el instrumento con que se haya de medir alguna distancia sea el mayor que se pudiere, porque menor será el error.

Y digo que medir es cosa asaz difícil que piensan los teóricos y los que no saben dello y que muchas veces no es posible medir la distancia que se quiere con el instrumento y que el práctico tiene que saber cómo medir los sitios a los que no puede acceder que puede ser el ancho de un río o un área batida por el enemigo y que se miden por la Geometría y es cosa de saber Geometría y de ser fino en la medida para que no yerre el práctico en cosa que puede costar la vida de sus compañeros.

Y se hace ésto con la escuadra, por ejemplo, que gusta Don Cristobal de instrumentos más complicados de lo que ya os hablará él, pero es el que más tengo a mi sabor. Digo que si quiero tomar la distancia A.E. y no puedo medirla por lo que fuera cogeré la escuadra y la pondré en B. de guisa que apunto el uno de sus lados a A. que es inaccesible y marcaré la línea que dibuja el otro lado y la prolongaré con una señal y me llevaré la escuadra sobre esta línea a tacto hasta un punto D. que apunte el uno de sus lados a B. y el otro a A. que no puedo llegar y digo que la distancia entre B. y D. es exacta a la A.B. que no podía medir.

Y que también puede hacerse éso por proporciones poniendo un cuadrado en la tierra tan grande como se pudiere pues cuanto mayor fuere tanto será más cierta la medida. Y se hará de tal forma este cuadrado que un lado suyo que será E.C. mire al punto A. de la otra banda del río, por ejemplo, y supongo que este cuadrado tiene por cada lado 80. pies, que copio lo que explica Don Cristobal en su obra, Digo pues que se plante el cuadrante en el punto D. y se mire al punto A. y se note por donde corta la línea al cuadrado que se hizo en la tierra: y supone Don Cristobal que corta por la mitad que fue a los 40. pies. Hecho ésto se ordene una regla de 3. diziendo: "¿si 40. vinieron de 80. los mesmos 80. de donde vendrán?". Multiplicarán los 80. con los 80. y harán justamente 6400. los cuales se partrán por los 40. y saldrán 160 pies. y tantos pies hay desde el punto C. de cuadrado hasta el punto A. de la otra parte del río.

Y dice don Cristobal que esta medida se tendrá por la mejor y más cierta excepto la anterior que dije que en esa no se puede errar sino adrede.

Y con todo y no ser la parte mas fácil deste arte, hay que hacer practicarla a veces bajo el fuego de los herejes y cuidadosos de sus celadas, y además saber sacar ángulos de los rectos para edificar las fábricas que tienen figuras de pentágonos y de exágonos y de heptágonos y más, que son las que el arte militar prefiere.>>

A modo de conclusión.

A los ingenieros de la época les faltaba la más importante de las herramientas, un conjunto de números continuo, el de los reales, de manera que su aritmética iba de la mano de la geometría para lograr resultados con la precisión apetecida. Son muchos los problemas que se resuelven en ingeniería, también hoy en día, mediante el recurso a sistemas CAD, que son verdaderas calculadoras geométricas.

La solución gráfica de la raíz cuadrada se basa en la Proposición XIII del Libro VI. de Euclides, que cita el propio Cristobal de Rojas (3), y permite hallar la media proporcional de dos segmentos. Esta proposición fundamenta igualmente el instrumento a que alude don Pero en su discurso, que permite medir distancias de manera indirecta con tal de poder lanzar una visual, como veremos en otro artículo.

Las limitaciones de los instrumentos y las quejas de don Cristobal respecto a las pretensiones de exactitud de los teóricos y su incipiente reflexión sobre las fuentes de error y su propagación, muestran a las claras que nos encontramos ya ante ingenieros bien caracterizados.

Notas:

(1) Op. Cit. fol. I.

(2) Op. Cit. fol. 80.

(3) Op. Cit. fol. 12.v.

Tercios españoles: del arte de la guerra a la ciencia de la guerra. El problema del calibre

Presentación:

Éste es el primero de una serie de artículos en que iré dando cuenta de cómo la Ciencia se fue introduciendo por las rendijas del viejo "Arte de la Guerra", (de la mano de la revolución renacentista de la poliorcética y de la artillería, sobre todo), para dar lugar a la ingeniería militar.

No voy a hacer una historia de la ingeniería militar, sino que voy a presentar los conocimientos y métodos de que ésta se fue dotando a partir de las fuentes originales a que tenemos acceso gracias a la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico, dependiente del Ministerio de Cultura, y a algunas otras procedentes de otras bibliotecas y archivos.

Procuraré formular cada problema tal y como se presentó a nuestros antecesores, de acuerdo con el conocimiento de su época, (y la forma en que lo aplicaron), para comprender las soluciones a las que llegaron. Cuando sea pertinente, recurriré a nuestras matemáticas para valorar o aclarar las viejas soluciones.

En general veremos cómo se trata de problemas de aplicación en arquitectura, topografía o balística, que se abordan geométricamente, en vez de, como estamos acostumbrados, algebraicamente. Aún faltaban algunas décadas para que Descartes abriera nuevos caminos.

Hace años que me interesan las obras antiguas sobre matemáticas, y de ellas he sacado, sobre todo, un íntimo convencimiento de que a ellas se accede por la puerta de la geometría. Que cada uno debe rehacer en su mente el camino que jalonan los problemas que en cada momento preocuparon a los matemáticos. Que deberíamos emplear no pocas horas de nuestra infancia en trabajar "a la euclidea", con regla y compás, para aprender a pensar matemáticamente.

Artillería. El problema del calibre.

<<Llamadme Fernando. Soy un artillero español del siglo XVI, y tengo un problema. La estandarización de las piezas a las que sirvo es muy deficiente. De hecho, no existe, en buen español, la palabra "estandarización", que me suena a lindeza francesa o barrabasada flamenca.

A decir del bueno de D. Lázaro de la Isla en su Breve tratado del arte de la artillería, geometría y artificios de fuego,  que dirigió al Capitán General de Artillería, D. Juan de Acuña  el año de 1595, son tantos los conocimientos que debo dominar, (y tantas y tan importantes las cosas que de ello dependen), que me sorprendo al caer en la cuenta de la infinidad de sentencias del libro que sabidas tengo desde mozo sin saber ni como las aprendí.

No soy un hombre de letras, (que bien estorbado que fui en la escuela), pero como dice D. Lázaro en el Capítulo I, no me es ajeno el uso de la regla, la escuadra, la brújula, y del nivel, que usaron los antiguos sabios, como no lo es el de la pala y la azada que de siempre he visto en manos de mis mayores.

Convengo en que no sé explicar con números y papeles por qué ni cómo funcionan esos instrumentos del oficio. Pero para suplir, si hace falta, esa regla, a que alude D. Lázaro, en que viene señalado el peso de las balas y las bocas de las piezas ya tengo yo años de experiencia en Flandes.

Con ésto y todo, hete aquí que en este Año del Señor de 1598, se nos presenta un oficialillo con otro libro, (éste del Capitán D. Cristobal de Rojas), que se titula Teórica y práctica de fortificación, conforme las medidas y defensas destos tiempos, y que menos me gusta que el de D. Lázaro, (que aún dice cosa útil entre tanta letra),  y que, con abundancia de boato, de papel y reglas, viene a enseñarme cómo sacar el diámetro de una bala para un determinado peso a partir de otra de diámetro y peso conocidos, sin que me vaya a valer ni un escudo de ventaja.

"Esta curiosa regla de Geometría dicen que la inventó Nicolao Tartalia, y es de tal estimación, que holgaran mucho saberla los Delios, cuando tuvieron necesidad de doblar el ara de Apolo, para lo cual se juntaron grandes Filósofos, y nunca supieron la razón de ella. Dice su fábrica así. Sea un diámetro de un cubo la línea AB, y que pese 15 libras: piden que se dé otro diámetro que se cuerpo, o cubo, sea doblado al de la AB que quiere decir, que pese 30 libras, y los mismo se entenderá, si fuesen onzas, porque la regla es muy general, y porque se pretende sacar un cuerpo doblado a la AB. Se pondrá la dicha línea AB en una línea recta dos veces de largo, y luego se hará un rectángulo que tenga de ancho la mesma línea AB como parece en esta planta.

Dize esta regla, que hecho el rectángulo, como dicho es, se extenderán las dos líneas ED y la EA muy largas acaso, y luego se tirarán las dos líneas diagonales del dicho rectángulo, que serán AD y CE y se cruzarán en el punto G y fabricado ésto se pondrá una regla que toque en la esquina del rectángulo del punto C y se ajustará de tal suerte la dicha regla que estén distantes por partes iguales el punto H y el punto F del centro G y luego se tirará la línea HF que pase justamente por el punto C y digo que la línea DF es el diámetro duplo a la AB en potencia como se prueba por la 12 definición del 5 de Euclides y por la 36 del undécimo y con esta orden podrá hacer el artillero el calibro, porque si quiere duplicar, o triplicar, o cuadruplicar una bala, pondrá el diámetro de la primera bala por anchura de un rectángulo, y por largura de él, tantos diámetros de largo, cuanto pretendiere que sea mayor la segunda bala que quiere hacer." Op. Cit. Cap. XXI.

Que ancho se quedó nuestro buen Capitán con este discurso, que si no fuera por el dibujo que acompaña ni siquiera sabríamos de qué habla, salvo de que la culpa de este desaguisado de rayas y compases es del tartaglia ése, italiano.

Con todo me he esforzado por comprender, porque no he yo de dejar de aprender algo que a mi oficio atañe, por más que vote a los demonios del alma de los que tal enredo nos sacan de sus cabezas a tantos españoles honrados que no aspiramos a otra cosa que a luchar por la Fe y por Nuestro Rey contra los herejes. Así que el Señor Oficial ha prometido volver ahora con una copia del Tartaglia, que así le llaman, para esclarecer tanta oscuridad como hay en este texto, que antes pareciera locura de alquimista que manual para la batalla.

Y helo aquí al Sr. Oficial, con un libro más gordo si cabe, que parece que pueda albergar entre sus páginas a todos los santos de la cristiandad, y encima en jerigonza italiana:

"Volendo adonque trovare per linea, poniamo la radice cuba di 10. Questo 10 (come di sopra e stato detto) s'intende, o che si debbe intendere 10 misure corporee, horponiamo she siano 10 corpetti simili al nostro corpetto .c. di sopra posto in margine, delliquali 10 corpetti la intencion nostra e di volerne fare un cubo solo et saper quanto quel sara per lato, ouer che diremo, eglie un cubo, che l'area sua corporale é 10 di detti corpetti .c. et voressimo sapere quanto sia il lato di tal cubo,cioe quanto sia di quelle misurette lineali (simile alla .a.) per lato la qual linetta .a. per esser stata suposta per un piede et per piede la chiameremo, per essequir adonque questo effetto tira una linea cioe la .de. & di quella ne cavarai la .df. che sia precisamente 10 piedi (cioe la dg & la hf) sia precisamente piedi.i. (tal che la detta superficie venira a esser 10 piedi superficiali) fatto questo tira in quella li duoi diametri .dh. & .gf. (per trovar il centro .i.) dapoi slonga il lato .dg. poníamo fino .ak. (ponto non determinato) fatto questo piglia il tuo compasso (facendo centro il ponto i) & con quello cercarai di signar in ponto sopra la linea .gk. & un'altro (senza variar il compasso dal centro .i.) sopra la linea .fe. liquali duoi ponti siano di tal qualita che tirando una linea retta da uno a l'altro di quelli  tal linea passi precisamente per il ponto .h. & per trouar questi duoi ponti cosi conditionati bisogna procedere a tasto ne in questo modo prima a nostro giudicio signaremo li duoi ponti .l. & .m. & dapoi signati che siano isperimentaremo se tirando da l'uno a l'altro la detta linea retta se quella transira precisamente per il detto ponto h & perche in vero tirando la detta linea dal detto ponto .l. al ponto .m. quella transiria alquanto disopra dal detto ponto .h. & pero ne signaremo duoi altri stringendo alquanto il nostro compasso, & questi secondi pongo che siano .no. ma tirando la detta linea dal ponto .n. al ponto .o. trouaremo che quella transira al quanto piu baso del detto ponto .h. & pero slargaremo alquanto il nostro compasso, & con quello signaremos glialtri duoi ponti .p. & .q. & perche a tirar la detta linea dal ponto .p. all ponto .q. quel passa pontalmente per il detto ponto .h. como sesibilmente si vede, concluderemo la linea .fq. esser la radice cuba di 10 vero è che bisogna esser diligentissimo nell'operare altramente malamente rispondería al senso essempi gratia cauando la propinqua radice cuba di 10 per la nostra regola trouaremos quella esser 2 1/9 & pero se la nostra operatione geometrica sara stata fatta con diligentia la detta .fq. doveria esser circa piedi 2 1/9 cioe circa due di quelle lineete .a. et un nono di una di quelle & cosi con compasso te ne potrai chiarire. "

Ya sudamos con tanta letra y tanta raya como si fuéramos galeotes, que menos mal que el Pater, (que sabe de latines más que nuestro señor el Papa), ha cogido un palo y nos lo está dibujando sobre el barro. Visto queda que no fuera de mayor dificultad la empresa, (si hubiere necesidad della, que jamás en mis años de campaña me pusieron las circunstancias ante tal necesidad), si no fuera porque se ha de encontrar los puntos que determinan la inclinación de la raya que pasa por C , y así la respuesta, procediendo "a tasto", como dice el tartaglia,  que s'hecha de menos forma de hacerlo exactamente con la regla y el compás.

No es difícil cosa, si se sabe explicar, que, por ejemplo, para conseguir una bala de doble peso que una de diámetro tres dedos, hay que dibujar esa distancia en el papel AB, y luego prolongarla en su longitud hasta un punto C. Que a partir de ahí trasladamos perpedicularmente el dicho diámetro de la bala desde A verticalmente hacia abajo hasta el punto D y, con estos tres, trazamos el rectángulo y sus diagonales que se cruzan en un punto O. Y que si, de esta guisa, prolongamos los lados AD y DE y conseguimos situar en ellos dos puntos tales que equidisten de O y que definan una recta que contenga a C, cosa esta que difícil es de atinar a la primera, a fé mía,  la distancia entre el punto E del rectángulo inicial y el punto que llama el Pater "dseta", (que nada se le oculta del alfabeto gregesco), será la que tengo que usar como diámetro de la bala que me solicitan, y que tendrá el peso doble que la anterior.

Que no se yo cómo a Micer Tartaglia le vino a la mente cosa semejante que ni a los sabios se les había ocurrido, y que, de todos modos, más parece cosa como de oficiales, d'esos que razonan como Don Cristobal, que quedan convencidos de las cosas "por la 12 definición del 5 de Euclides y por la 36 del undécimo", que no de honrados artilleros. >>

A modo de conclusión:


Más parece cosa que quitara el sueño a un maestro armero que a un artillero ésta que nos ocupa, pero en todo caso, nos proporciona una ocasión para comprobar lo mucho que debemos a los "humildes" avances de la aritmética. Nociones tan elementales como el volumen, (y el peso en este caso, con permiso de la densidad), quedan por entero fuera de la capacidad de cálculo de la mayor parte de las personas de la época, salvo unos pocos casos particulares en que el resultado de la raíz cúbica es entero.

Tartaglia fue famoso, entre otras cosas, por haber resuelto la ecuación de tercer grado, cuya solución anterior, por Scipione del Ferro, no había transcendido. Naturalmente el problema de la raíz cúbica no podía dejar de interesarle. La solución gráfica que propuso es antes una demostración geométrica de la radicación cúbica, que un verdadero método para resolver los problemas planteados, dado que no especifica la manera de encontrar exactamente los puntos que determinan la solución con la regla y el compás, sino que es la solución la que determina exactamente los citados puntos. Como regla práctica de oficio, parece más bien que la solución del problema planteado pasase simplemente por el uso de las reglas que cita Lázaro de la Isla.

Nosotros, dotados de métodos más poderosos, podemos hoy hacer este cálculo con la exactitud que precisemos sin más que recurrir a la calculadora:

Para el caso de una bala esférica buscamos aquel radio R que cumpla que  V/(2V) = r^3/R^3

O sea, R = (2r^3)^(1/3), y para el caso que nos ocupa,  r = 3 => R = 3,78.

El método gráfico ha arrojado un resultado de 3,76 que no está mal, y que se habría podido ajustar aún más... Pero claro... El Pater no tenía Geogebra.

Los triángulos: omnis mundi creatura quasi liber et pictura nobis est, et speculum.

Omnis mundi creatura quasi liber et pictura nobis est, et speculum.

"-Sigo sin entender- confesó Joss-. Sabemos que el universo se rige por un orden matemático, la ley de la gravedad y todo éso. ¿Qué diferencia tiene ésto? ¿De qué nos serviría saber que existe un orden en las cifras de pi?

-¿No se da cuenta? Ésto sería distinto. No se trata sólo de comenzar el universo con algunas leyes matemáticas precisas que determinan la física y la química. Ésto es un mensaje. Quien quiera que haya creado el universo, ocultó mensajes en números irracionales para que se descifren quince mil millones de años después, cuando por fin haya evolucionado la vida inteligente. La otra vez que nos reunimos critiqué a Rankin y usted por no comprenderlo. ¿Recuerda que les pregunté que, si Dios quisiera hacernos conocer su existencia, por qué entonces no nos enviaba un mensaje concreto?

-Me acuerdo muy bien. Usted piensa que Dios es un matemático."

(Carl Sagan. Contacto).

-Tenía que ocurrir- dijo Ptagonal. Sacó un compás de entre los pliegues de su toga y midió el pastel con expresión pensativa-. Es una constante, ¿no te parece? Sí, estoy seguro de que es una constante. Qué concepto más deprimente...

-Perdona, pero temo que no te entiendo- dijo Teppic.

-El diámetro divide a la circunferencia, ¿sabes? Tendría que ser tres veces. Es lo que pensaría cualquiera, ¿no te parece? Pero ¿es así? No. Tres coma uno cuatro uno y montones de números más... No sé de dónde salen, pero los muy malditos no se acaban nunca. ¿sabes lo mucho que me cabrea el que no se acaben nunca?

-Supongo que te debe cabrear considerablemente- dijo Teppic en su tono más cortés.

-Exacto. Me indica que el Creador usó la clase de círculos que no debía. ¡Ni tan siquiera es un número presentable! Quiero decir que... Bueno a tres coma cinco le puedes tener respeto. O a tres coma tres, por ejemplo... Sí, éso sí tendría buen aspecto.

(Terry Pratchett, Pirómides)

Introducción

Quiero aprovechar para introducir uno de esos libros que siempre viaja conmigo, en mi cabeza y en mi maleta. Se trata de El universo de las matemáticas. Un recorrido alfabético por los grandes teoremas, enigmas y controversias, de William Dunham de editorial Pirámide, (1995). El formato elegido por el autor es el de un diccionario con una entrada por cada una de las letras del alfabeto, en plan RAE, modelo expositivo que, lejos de fragmentar el discurso, lo acota en capítulos muy accesibles cuyas relaciones internas establece fácilmente el lector, casi sin enterarse, durante el proceso de lectura.

Pues bien, uno de ésos capítulos, el de la "E", está dedicado a Euler, en palabras de Dunham un matemático de primerísimo orden, aunque casi totalmente desconocido por el gran público que, posiblemente, en su gran mayoría no sabe ni pronunciar correctamente su nombre. Los mismos que nunca han oído hablar de Euler probablemente no tendrían problema en saber que Pierre-Auguste Renoir es un artista o que Johannes Brahms es un compositor o que Sir Walter Scott es un novelista. La anonimicidad de Euler, por contraste, es una injusticia y una vergüenza. (...) Por tanto, encarezco a los lectores que blandiendo el libro comiencen a formar clubes de entusiastas seguidores, escriban pancartas y de otras muchas formas corran la voz acerca de uno de los matemáticos más influyentes y más ingeniosos que han existido. Y en éso estamos...

Leonhard Euler

¿A dónde quiero ir a parar? Al estudio geométrico del más simple de los polígonos, el triángulo, (estudiado hasta la saciedad desde la antigüedad por mentes tan extraordinarias como la del mismísimo Euclides), al que Euler realizó contribuciones de tal perspicacia, sencillez y alcance que casi me inclinan, (irredento ateo y todo, como soy), a considerar seriamente la posibilidad de un dios, o, al menos, de un Intelecto Agente.

Me voy a permitir el lujo de cogerme de la mano de Dunham para mostraros esta pequeña joya de la geometría:

comencemos con un triángulo arbitrario ABC como el que se muestra en la figura E.1. córtese por la mitad cada lado y trácense las tres alturas del triángulo -ésto es, las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto-. En la figura hemos puesto una M en el punto medio de cada lado y una P al lado de cada perpendicular. ¿Qué es digno de notarse acerca de estos seis puntos aparentemente sin relación entre sí? 

¡Euler demostró el hecho curioso de que los seis puntos caían en un sólo círculo! El centro del círculo se halla como se indica en la figura E.2.. Sea D el punto común donde se cortan las tres alturas del triángulo (técnicamente llamado el ortocentro del triángulo) y E el punto común donde se cortan las perpendiculares trazadas desde los puntos medios de cada lado (el circuncentro). Únanse el punto D y E y córtese este segmento por la mitad en O. Entonces O es el detro de un círculo que pasa por todos los seis puntos mencionados.

Este teorema sumamente peculiar que pasan por alto Euclides, Arquímedes, Tolomeo y todos los demás matemáticos durante miles de años, indica, concluye Dunham, que Euler pudo hacer geometría como el mejor de ellos.

Lo más curioso, además, es que es un hecho constatable "a la euclidiana", mediante regla y compás, (una forma de razonar en la que, lamentablemente, no somos educados). Hoy es un resultado bien conocido. Las tres alturas del triángulo se cortan en el ortocentro, las mediatrices de cada uno de sus lados, (la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio), se cortan en el circuncentro y las medianas, (los segmentos que unen cada uno de los vértices con el punto medio de su lado opuesto), lo hacen en el baricentro. Los tres puntos están contenidos en la llamada Recta de Euler. Podemos "comprobarlo" fácilmente gracias a Geogebra:

(Nótese que no he representado el baricentro)

En los próximos días, abordaré este problema desde una perspectiva algebraica. Y así, de paso, hablamos de la gran contribución de Descartes a las matemáticas.